1. El problema es encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados. 2. La fórmula para la pendiente $m$ de la recta que pasa por dos puntos $P_1(x_1,y_1)$ y $P_2(x_2,y_2)$ es: $$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ 3. La ecuación punto-pendiente de la recta es: $$y-y_1=m(x-x_1)$$ 4. Vamos a resolver para cada par de puntos del 15 al 20: --- **Problema 15: M(-4,-6) y N(-1,-4)** - Calculamos la pendiente: $$m=\frac{-4-(-6)}{-1-(-4)}=\frac{-4+6}{-1+4}=\frac{2}{3}$$ - Usamos la ecuación punto-pendiente con $M(-4,-6)$: $$y+6=\frac{2}{3}(x+4)$$ - Simplificamos: $$y+6=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$$ - Restamos 6: $$y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}-6=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}-\frac{18}{3}=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}$$ --- **Problema 16: O(3,5) y P(-6,2)** - Pendiente: $$m=\frac{2-5}{-6-3}=\frac{-3}{-9}=\frac{1}{3}$$ - Ecuación con $O(3,5)$: $$y-5=\frac{1}{3}(x-3)$$ - Simplificamos: $$y-5=\frac{1}{3}x-1$$ - Sumamos 5: $$y=\frac{1}{3}x-1+5=\frac{1}{3}x+4$$ --- **Problema 17: A(-5,-3) y B(1,1)** - Pendiente: $$m=\frac{1-(-3)}{1-(-5)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$ - Ecuación con $A(-5,-3)$: $$y+3=\frac{2}{3}(x+5)$$ - Simplificamos: $$y+3=\frac{2}{3}x+\frac{10}{3}$$ - Restamos 3: $$y=\frac{2}{3}x+\frac{10}{3}-3=\frac{2}{3}x+\frac{10}{3}-\frac{9}{3}=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$$ --- **Problema 18: C(2,-8) y D(-2,-4)** - Pendiente: $$m=\frac{-4-(-8)}{-2-2}=\frac{4}{-4}=-1$$ - Ecuación con $C(2,-8)$: $$y+8=-1(x-2)$$ - Simplificamos: $$y+8=-x+2$$ - Restamos 8: $$y=-x+2-8=-x-6$$ --- **Problema 19: E(2,4) y F(-4,1)** - Pendiente: $$m=\frac{1-4}{-4-2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$$ - Ecuación con $E(2,4)$: $$y-4=\frac{1}{2}(x-2)$$ - Simplificamos: $$y-4=\frac{1}{2}x-1$$ - Sumamos 4: $$y=\frac{1}{2}x-1+4=\frac{1}{2}x+3$$ --- **Problema 20: G(-4,-5) y H(-1,-2)** - Pendiente: $$m=\frac{-2-(-5)}{-1-(-4)}=\frac{3}{3}=1$$ - Ecuación con $G(-4,-5)$: $$y+5=1(x+4)$$ - Simplificamos: $$y+5=x+4$$ - Restamos 5: $$y=x+4-5=x-1$$ --- **Respuesta final:** - 15: $$y=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}$$ - 16: $$y=\frac{1}{3}x+4$$ - 17: $$y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$$ - 18: $$y=-x-6$$ - 19: $$y=\frac{1}{2}x+3$$ - 20: $$y=x-1$$