1. Planteamos resolver la ecuación $$\frac{x^2}{5} - \frac{x}{2} = \frac{3}{10}$$ usando la forma general de la ecuación cuadrática. 2. Multiplicamos toda la ecuación por 10 para eliminar denominadores: $$10 \times \left(\frac{x^2}{5} - \frac{x}{2}\right) = 10 \times \frac{3}{10}$$ $$2x^2 - 5x = 3$$ 3. Reordenamos para igualar a cero: $$2x^2 - 5x - 3 = 0$$ 4. Identificamos coeficientes para la fórmula general $ax^2 + bx + c = 0$: $$a=2, \quad b=-5, \quad c=-3$$ 5. Aplicamos la fórmula general: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 2 \times (-3)}}{2 \times 2}$$ $$= \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4}$$ 6. Calculamos las soluciones: $$x_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ $$x_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ --- 7. Para la ecuación $$4x - \frac{13}{x} = \frac{3}{2}$$ multiplicamos por $2x$ para eliminar denominadores: $$2x \times 4x - 2x \times \frac{13}{x} = 2x \times \frac{3}{2}$$ $$8x^2 - 26 = 3x$$ 8. Reordenamos: $$8x^2 - 3x - 26 = 0$$ 9. Coeficientes: $$a=8, \quad b=-3, \quad c=-26$$ 10. Aplicamos fórmula general: $$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 8 \times (-26)}}{2 \times 8} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 832}}{16} = \frac{3 \pm \sqrt{841}}{16}$$ 11. Soluciones: $$x_1 = \frac{3 + 29}{16} = \frac{32}{16} = 2$$ $$x_2 = \frac{3 - 29}{16} = \frac{-26}{16} = -\frac{13}{8}$$ --- 12. Para la ecuación $$\frac{x^2}{6} - \frac{x}{2} = 3(x - 5)$$ multiplicamos por 6: $$x^2 - 3x = 18x - 90$$ 13. Reordenamos: $$x^2 - 3x - 18x + 90 = 0$$ $$x^2 - 21x + 90 = 0$$ 14. Coeficientes: $$a=1, \quad b=-21, \quad c=90$$ 15. Aplicamos fórmula general: $$x = \frac{21 \pm \sqrt{(-21)^2 - 4 \times 1 \times 90}}{2} = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 360}}{2} = \frac{21 \pm \sqrt{81}}{2}$$ 16. Soluciones: $$x_1 = \frac{21 + 9}{2} = 15$$ $$x_2 = \frac{21 - 9}{2} = 6$$ --- 17. Para $$\frac{1}{4}(x - 4) + \frac{2}{5}(x - 5) = \frac{1}{3}(x^2 - 53)$$ multiplicamos por 60 (mcm de 4,5,3): $$15(x - 4) + 24(x - 5) = 20(x^2 - 53)$$ 18. Expandimos: $$15x - 60 + 24x - 120 = 20x^2 - 1060$$ 19. Simplificamos: $$39x - 180 = 20x^2 - 1060$$ 20. Reordenamos: $$0 = 20x^2 - 1060 - 39x + 180$$ $$20x^2 - 39x - 880 = 0$$ 21. Coeficientes: $$a=20, \quad b=-39, \quad c=-880$$ 22. Aplicamos fórmula general: $$x = \frac{39 \pm \sqrt{(-39)^2 - 4 \times 20 \times (-880)}}{40} = \frac{39 \pm \sqrt{1521 + 70400}}{40} = \frac{39 \pm \sqrt{71921}}{40}$$ 23. Calculamos raíz: $$\sqrt{71921} = 268.15 \text{ (aprox)}$$ 24. Soluciones: $$x_1 = \frac{39 + 268.15}{40} = 7.68$$ $$x_2 = \frac{39 - 268.15}{40} = -5.73$$ --- 25. Para $$\frac{5}{x} - \frac{1}{x+2} = 1$$ multiplicamos por $x(x+2)$: $$5(x+2) - x = x(x+2)$$ 26. Expandimos: $$5x + 10 - x = x^2 + 2x$$ 27. Simplificamos: $$4x + 10 = x^2 + 2x$$ 28. Reordenamos: $$0 = x^2 + 2x - 4x - 10$$ $$x^2 - 2x - 10 = 0$$ 29. Coeficientes: $$a=1, \quad b=-2, \quad c=-10$$ 30. Aplicamos fórmula general: $$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 1 \times (-10)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 40}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2}$$ 31. Simplificamos raíz: $$\sqrt{44} = 2\sqrt{11}$$ 32. Soluciones: $$x_1 = \frac{2 + 2\sqrt{11}}{2} = 1 + \sqrt{11}$$ $$x_2 = \frac{2 - 2\sqrt{11}}{2} = 1 - \sqrt{11}$$ --- 33. Para $$\frac{15}{x} - \frac{11x+5}{x^2} = -1$$ multiplicamos por $x^2$: $$15x - (11x + 5) = -x^2$$ 34. Simplificamos: $$15x - 11x - 5 = -x^2$$ $$4x - 5 = -x^2$$ 35. Reordenamos: $$x^2 + 4x - 5 = 0$$ 36. Coeficientes: $$a=1, \quad b=4, \quad c=-5$$ 37. Aplicamos fórmula general: $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \times 1 \times (-5)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2}$$ 38. Soluciones: $$x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5$$ --- 39. Para $$\frac{8x}{3x+5} + \frac{5x-1}{x+1} = 3$$ multiplicamos por $(3x+5)(x+1)$: $$8x(x+1) + (5x-1)(3x+5) = 3(3x+5)(x+1)$$ 40. Expandimos cada término: $$8x^2 + 8x + 15x^2 + 25x - 3x - 5 = 9x^2 + 18x + 15x + 15$$ 41. Simplificamos: $$8x^2 + 8x + 15x^2 + 22x - 5 = 9x^2 + 33x + 15$$ 42. Sumamos términos semejantes: $$23x^2 + 30x - 5 = 9x^2 + 33x + 15$$ 43. Reordenamos: $$23x^2 + 30x - 5 - 9x^2 - 33x - 15 = 0$$ $$14x^2 - 3x - 20 = 0$$ 44. Coeficientes: $$a=14, \quad b=-3, \quad c=-20$$ 45. Aplicamos fórmula general: $$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 14 \times (-20)}}{28} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 1120}}{28} = \frac{3 \pm \sqrt{1129}}{28}$$ 46. Soluciones aproximadas: $$x_1 = \frac{3 + 33.6}{28} = 1.32$$ $$x_2 = \frac{3 - 33.6}{28} = -1.11$$ --- 47. Para $$\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{6}$$ multiplicamos por $6(x-2)(x-1)$: $$6(x-1) - 6(x-2) = (x-2)(x-1)$$ 48. Expandimos: $$6x - 6 - 6x + 12 = x^2 - 3x + 2$$ 49. Simplificamos: $$6 = x^2 - 3x + 2$$ 50. Reordenamos: $$x^2 - 3x + 2 - 6 = 0$$ $$x^2 - 3x - 4 = 0$$ 51. Coeficientes: $$a=1, \quad b=-3, \quad c=-4$$ 52. Aplicamos fórmula general: $$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$$ 53. Soluciones: $$x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1$$ --- 54. Para $$1 - \frac{2x-3}{x+5} = \frac{x-2}{10}$$ multiplicamos por $10(x+5)$: $$10(x+5) - 10(2x-3) = (x-2)(x+5)$$ 55. Expandimos: $$10x + 50 - 20x + 30 = x^2 + 3x - 10$$ 56. Simplificamos: $$-10x + 80 = x^2 + 3x - 10$$ 57. Reordenamos: $$0 = x^2 + 3x - 10 + 10x - 80$$ $$x^2 + 13x - 90 = 0$$ 58. Coeficientes: $$a=1, \quad b=13, \quad c=-90$$ 59. Aplicamos fórmula general: $$x = \frac{-13 \pm \sqrt{169 + 360}}{2} = \frac{-13 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{-13 \pm 23}{2}$$ 60. Soluciones: $$x_1 = \frac{-13 + 23}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-13 - 23}{2} = -18$$ --- 61. Para $$\frac{x-13}{x} = 5 - \frac{10(5x+3)}{x^2}$$ multiplicamos por $x^2$: $$(x-13)x = 5x^2 - 10(5x+3)$$ 62. Expandimos: $$x^2 - 13x = 5x^2 - 50x - 30$$ 63. Reordenamos: $$0 = 5x^2 - 50x - 30 - x^2 + 13x$$ $$4x^2 - 37x - 30 = 0$$ 64. Coeficientes: $$a=4, \quad b=-37, \quad c=-30$$ 65. Aplicamos fórmula general: $$x = \frac{37 \pm \sqrt{(-37)^2 - 4 \times 4 \times (-30)}}{8} = \frac{37 \pm \sqrt{1369 + 480}}{8} = \frac{37 \pm \sqrt{1849}}{8}$$ 66. Calculamos raíz: $$\sqrt{1849} = 43$$ 67. Soluciones: $$x_1 = \frac{37 + 43}{8} = 10$$ $$x_2 = \frac{37 - 43}{8} = -\frac{3}{4}$$ --- 68. Para $$\frac{x}{x-2} - \frac{x-2}{x} = \frac{5}{2}$$ multiplicamos por $2x(x-2)$: $$2x^2 - 2(x-2)^2 = 5x(x-2)$$ 69. Expandimos: $$2x^2 - 2(x^2 - 4x + 4) = 5x^2 - 10x$$ 70. Simplificamos: $$2x^2 - 2x^2 + 8x - 8 = 5x^2 - 10x$$ 71. Queda: $$8x - 8 = 5x^2 - 10x$$ 72. Reordenamos: $$0 = 5x^2 - 10x - 8x + 8$$ $$5x^2 - 18x + 8 = 0$$ 73. Coeficientes: $$a=5, \quad b=-18, \quad c=8$$ 74. Aplicamos fórmula general: $$x = \frac{18 \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \times 5 \times 8}}{10} = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 160}}{10} = \frac{18 \pm \sqrt{164}}{10}$$ 75. Simplificamos raíz: $$\sqrt{164} = 2\sqrt{41}$$ 76. Soluciones: $$x_1 = \frac{18 + 2\sqrt{41}}{10} = 1.8 + 0.2\sqrt{41}$$ $$x_2 = \frac{18 - 2\sqrt{41}}{10} = 1.8 - 0.2\sqrt{41}$$ --- 77. Para $$\frac{4x^2}{x-1} - \frac{1-3x}{4} = \frac{20x}{3}$$ multiplicamos por $12(x-1)$: $$12(x-1) \times \frac{4x^2}{x-1} - 12(x-1) \times \frac{1-3x}{4} = 12(x-1) \times \frac{20x}{3}$$ 78. Simplificamos: $$48x^2 - 3(1-3x)(x-1) = 80x(x-1)$$ 79. Expandimos: $$48x^2 - 3(1 - 3x)(x - 1) = 80x^2 - 80x$$ 80. Expandimos el producto: $$(1 - 3x)(x - 1) = x - 1 - 3x^2 + 3x = -3x^2 + 4x - 1$$ 81. Sustituimos: $$48x^2 - 3(-3x^2 + 4x - 1) = 80x^2 - 80x$$ 82. Simplificamos: $$48x^2 + 9x^2 - 12x + 3 = 80x^2 - 80x$$ 83. Sumamos términos: $$57x^2 - 12x + 3 = 80x^2 - 80x$$ 84. Reordenamos: $$0 = 80x^2 - 80x - 57x^2 + 12x - 3$$ $$23x^2 - 68x - 3 = 0$$ 85. Coeficientes: $$a=23, \quad b=-68, \quad c=-3$$ 86. Aplicamos fórmula general: $$x = \frac{68 \pm \sqrt{(-68)^2 - 4 \times 23 \times (-3)}}{46} = \frac{68 \pm \sqrt{4624 + 276}}{46} = \frac{68 \pm \sqrt{4900}}{46}$$ 87. Calculamos raíz: $$\sqrt{4900} = 70$$ 88. Soluciones: $$x_1 = \frac{68 + 70}{46} = 3$$ $$x_2 = \frac{68 - 70}{46} = -\frac{1}{23}$$ --- 89. Para $$\frac{3x-1}{x} - \frac{2x}{2x-1} - \frac{7}{6} = 0$$ multiplicamos por $6x(2x-1)$: $$6(3x-1)(2x-1) - 12x^2 - 7x(2x-1) = 0$$ 90. Expandimos: $$6(6x^2 - 5x + 1) - 12x^2 - 14x^2 + 7x = 0$$ 91. Simplificamos: $$36x^2 - 30x + 6 - 12x^2 - 14x^2 + 7x = 0$$ 92. Sumamos términos: $$10x^2 - 23x + 6 = 0$$ 93. Coeficientes: $$a=10, \quad b=-23, \quad c=6$$ 94. Aplicamos fórmula general: $$x = \frac{23 \pm \sqrt{(-23)^2 - 4 \times 10 \times 6}}{20} = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 240}}{20} = \frac{23 \pm \sqrt{289}}{20}$$ 95. Calculamos raíz: $$\sqrt{289} = 17$$ 96. Soluciones: $$x_1 = \frac{23 + 17}{20} = 2$$ $$x_2 = \frac{23 - 17}{20} = \frac{3}{10}$$ --- 97. Para $$\frac{5x-8}{x-1} - \frac{7x-4}{x+2} = 0$$ multiplicamos por $(x-1)(x+2)$: $$(5x-8)(x+2) - (7x-4)(x-1) = 0$$ 98. Expandimos: $$5x^2 + 10x - 8x - 16 - 7x^2 + 7x + 4x - 4 = 0$$ 99. Simplificamos: $$5x^2 + 2x - 16 - 7x^2 + 11x - 4 = 0$$ 100. Sumamos términos: $$-2x^2 + 13x - 20 = 0$$ 101. Multiplicamos por $-1$ para facilitar: $$2x^2 - 13x + 20 = 0$$ 102. Coeficientes: $$a=2, \quad b=-13, \quad c=20$$ 103. Aplicamos fórmula general: $$x = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \times 2 \times 20}}{4} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 160}}{4} = \frac{13 \pm 3}{4}$$ 104. Soluciones: $$x_1 = \frac{13 + 3}{4} = 4$$ $$x_2 = \frac{13 - 3}{4} = \frac{5}{2}$$ --- 105. Para $$\frac{x+3}{2x-1} - \frac{5x-1}{4x+7} = 0$$ multiplicamos por $(2x-1)(4x+7)$: $$(x+3)(4x+7) - (5x-1)(2x-1) = 0$$ 106. Expandimos: $$4x^2 + 7x + 12x + 21 - 10x^2 + 5x + 2x - 1 = 0$$ 107. Simplificamos: $$4x^2 + 19x + 21 - 10x^2 + 7x - 1 = 0$$ 108. Sumamos términos: $$-6x^2 + 26x + 20 = 0$$ 109. Multiplicamos por $-1$: $$6x^2 - 26x - 20 = 0$$ 110. Coeficientes: $$a=6, \quad b=-26, \quad c=-20$$ 111. Aplicamos fórmula general: $$x = \frac{26 \pm \sqrt{(-26)^2 - 4 \times 6 \times (-20)}}{12} = \frac{26 \pm \sqrt{676 + 480}}{12} = \frac{26 \pm \sqrt{1156}}{12}$$ 112. Calculamos raíz: $$\sqrt{1156} = 34$$ 113. Soluciones: $$x_1 = \frac{26 + 34}{12} = 5$$ $$x_2 = \frac{26 - 34}{12} = -\frac{2}{3}$$ --- 114. Para $$\frac{1}{4-x} - \frac{1}{6} = \frac{1}{x+1}$$ multiplicamos por $6(4-x)(x+1)$: $$6(x+1) - (4-x)(x+1) = 6(4-x)$$ 115. Expandimos: $$6x + 6 - (4-x)(x+1) = 24 - 6x$$ 116. Expandimos el producto: $$(4-x)(x+1) = 4x + 4 - x^2 - x = -x^2 + 3x + 4$$ 117. Sustituimos: $$6x + 6 - (-x^2 + 3x + 4) = 24 - 6x$$ 118. Simplificamos: $$6x + 6 + x^2 - 3x - 4 = 24 - 6x$$ 119. Sumamos términos: $$x^2 + 3x + 2 = 24 - 6x$$ 120. Reordenamos: $$x^2 + 3x + 2 - 24 + 6x = 0$$ $$x^2 + 9x - 22 = 0$$ 121. Coeficientes: $$a=1, \quad b=9, \quad c=-22$$ 122. Aplicamos fórmula general: $$x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-9 \pm 13}{2}$$ 123. Soluciones: $$x_1 = \frac{-9 + 13}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-9 - 13}{2} = -11$$