1. Problema: Resolver la ecuación $x^2 - x - 6 = 0$ por descomposición. 2. Fórmula y regla: Buscamos dos números que multiplicados den $-6$ y sumados den $-1$ (coeficiente de $x$). 3. Cálculo: $-3 \times 2 = -6$ y $-3 + 2 = -1$. 4. Factorización: $(x - 3)(x + 2) = 0$. 5. Solución: $x = 3$ o $x = -2$. --- 1. Problema: Resolver $x^2 + 7x - 18 = 0$. 2. Buscamos dos números que multiplicados den $-18$ y sumados $7$. 3. Cálculo: $9 \times (-2) = -18$, $9 + (-2) = 7$. 4. Factorización: $(x + 9)(x - 2) = 0$. 5. Solución: $x = -9$ o $x = 2$. --- 1. Problema: Resolver $8x - 65 = -x^2$. 2. Reordenamos: $x^2 + 8x - 65 = 0$. 3. Buscamos dos números que multiplicados den $-65$ y sumados $8$. 4. Cálculo: $-5 \times 13 = -65$, $-5 + 13 = 8$. 5. Factorización: $(x + 13)(x - 5) = 0$. 6. Solución: $x = -13$ o $x = 5$. --- 1. Problema: Resolver $x^2 = 108 - 3x$. 2. Reordenamos: $x^2 + 3x - 108 = 0$. 3. Buscamos dos números que multiplicados den $-108$ y sumados $3$. 4. Cálculo: $-9 \times 12 = -108$, $-9 + 12 = 3$. 5. Factorización: $(x + 12)(x - 9) = 0$. 6. Solución: $x = -12$ o $x = 9$. --- 1. Problema: Resolver $2x^2 + 7x - 9 = 0$. 2. Multiplicamos coeficiente de $x^2$ y término independiente: $2 \times (-9) = -18$. 3. Buscamos dos números que multiplicados den $-18$ y sumados $7$. 4. Cálculo: $9 \times (-2) = -18$, $9 + (-2) = 7$. 5. Reescribimos: $2x^2 + 9x - 2x - 9 = 0$. 6. Factorizamos por grupos: $x(2x + 9) - 1(2x + 9) = 0$. 7. Factor común: $(2x - 1)(x + 9) = 0$. 8. Solución: $x = \frac{1}{2}$ o $x = -9$. --- 1. Problema: Resolver $6x^2 = 10 - 11x$. 2. Reordenamos: $6x^2 + 11x - 10 = 0$. 3. Multiplicamos coeficiente de $x^2$ y término independiente: $6 \times (-10) = -60$. 4. Buscamos dos números que multiplicados den $-60$ y sumados $11$. 5. Cálculo: $15 \times (-4) = -60$, $15 + (-4) = 11$. 6. Reescribimos: $6x^2 + 15x - 4x - 10 = 0$. 7. Factorizamos por grupos: $3x(2x + 5) - 2(2x + 5) = 0$. 8. Factor común: $(3x - 2)(2x + 5) = 0$. 9. Solución: $x = \frac{2}{3}$ o $x = -\frac{5}{2}$. --- 1. Problema: Resolver $20x^2 - 27x = 14$. 2. Reordenamos: $20x^2 - 27x - 14 = 0$. 3. Multiplicamos coeficiente de $x^2$ y término independiente: $20 \times (-14) = -280$. 4. Buscamos dos números que multiplicados den $-280$ y sumados $-27$. 5. Cálculo: $-35 \times 8 = -280$, $-35 + 8 = -27$. 6. Reescribimos: $20x^2 - 35x + 8x - 14 = 0$. 7. Factorizamos por grupos: $5x(4x - 7) + 2(4x - 7) = 0$. 8. Factor común: $(5x + 2)(4x - 7) = 0$. 9. Solución: $x = -\frac{2}{5}$ o $x = \frac{7}{4}$. --- 1. Problema: Resolver $7x = 15 - 30x^2$. 2. Reordenamos: $30x^2 + 7x - 15 = 0$. 3. Multiplicamos coeficiente de $x^2$ y término independiente: $30 \times (-15) = -450$. 4. Buscamos dos números que multiplicados den $-450$ y sumados $7$. 5. Cálculo: $25 \times (-18) = -450$, $25 + (-18) = 7$. 6. Reescribimos: $30x^2 + 25x - 18x - 15 = 0$. 7. Factorizamos por grupos: $5x(6x + 5) - 3(6x + 5) = 0$. 8. Factor común: $(5x - 3)(6x + 5) = 0$. 9. Solución: $x = \frac{3}{5}$ o $x = -\frac{5}{6}$. --- 1. Problema: Resolver $60 = 8x^2 + 15x$. 2. Reordenamos: $8x^2 + 15x - 60 = 0$. 3. Multiplicamos coeficiente de $x^2$ y término independiente: $8 \times (-60) = -480$. 4. Buscamos dos números que multiplicados den $-480$ y sumados $15$. 5. Cálculo: $30 \times (-16) = -480$, $30 + (-16) = 14$ (no 15, error en el planteamiento). 6. Por lo tanto, la factorización propuesta es incorrecta. 7. Se recomienda usar fórmula cuadrática para esta ecuación. --- Conclusión: Los ejercicios 1 a 8 están correctos con sus respectivas factorizaciones y soluciones. El ejercicio 9 contiene errores en la suma y producto para la factorización, por lo que no es correcto.