1. **Problema:** Resolver la ecuación exponencial $$7^{2x+8} = 1$$. 2. **Fórmula y regla:** Sabemos que $$a^0 = 1$$ para cualquier base $$a > 0$$ y $$a \neq 1$$. 3. **Aplicación:** Igualamos el exponente a cero porque $$7^{0} = 1$$: $$2x + 8 = 0$$ 4. **Resolución:** $$2x = -8$$ $$x = \frac{-8}{2}$$ $$x = -4$$ 5. **Respuesta:** $$x = -4$$. 1. **Problema:** Resolver la ecuación $$5^x + 5^{1-x} = 6$$. 2. **Sustitución:** Sea $$y = 5^x$$, entonces $$5^{1-x} = 5 \cdot 5^{-x} = \frac{5}{5^x} = \frac{5}{y}$$. 3. **Ecuación en $$y$$:** $$y + \frac{5}{y} = 6$$ 4. **Multiplicamos ambos lados por $$y$$ para eliminar el denominador:** $$y^2 + 5 = 6y$$ 5. **Reorganizamos:** $$y^2 - 6y + 5 = 0$$ 6. **Factorizamos:** $$(y - 5)(y - 1) = 0$$ 7. **Soluciones para $$y$$:** $$y = 5 \quad \text{o} \quad y = 1$$ 8. **Volvemos a $$x$$:** Para $$y = 5^x$$: - Si $$5^x = 5$$, entonces $$x = 1$$. - Si $$5^x = 1$$, entonces $$x = 0$$. 9. **Respuesta:** $$x = 1$$ o $$x = 0$$. 1. **Problema:** Resolver $$7^{x+2} - 7^{x+1} = -7^x + 43$$. 2. **Factorizamos términos con base $$7^x$$:** $$7^{x+2} = 7^x \cdot 7^2 = 49 \cdot 7^x$$ $$7^{x+1} = 7^x \cdot 7 = 7 \cdot 7^x$$ 3. **Reescribimos la ecuación:** $$49 \cdot 7^x - 7 \cdot 7^x = -7^x + 43$$ 4. **Simplificamos el lado izquierdo:** $$(49 - 7)7^x = -7^x + 43$$ $$42 \cdot 7^x = -7^x + 43$$ 5. **Sumamos $$7^x$$ a ambos lados:** $$42 \cdot 7^x + 7^x = 43$$ $$43 \cdot 7^x = 43$$ 6. **Dividimos ambos lados por 43:** $$\cancel{43} \cdot 7^x = \cancel{43}$$ $$7^x = 1$$ 7. **Resolvemos para $$x$$:** $$7^x = 7^0$$ $$x = 0$$ 8. **Respuesta:** $$x = 0$$.