1. Problema: Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care: $$\frac{1}{4x - 4} + \frac{1}{6x - 6} + \frac{1}{12x - 12} = \frac{1}{2x - 2}.$$ 2. Observăm că fiecare termen are o formă similară, putem scrie: $$4x - 4 = 4(x - 1), \quad 6x - 6 = 6(x - 1), \quad 12x - 12 = 12(x - 1), \quad 2x - 2 = 2(x - 1).$$ 3. Rescriem ecuația: $$\frac{1}{4(x - 1)} + \frac{1}{6(x - 1)} + \frac{1}{12(x - 1)} = \frac{1}{2(x - 1)}.$$ 4. Pentru $x \neq 1$ (deoarece împărțim la $x-1$), putem multiplica ambele părți cu $12(x - 1)$ pentru a elimina numitorii: $$12(x - 1) \left( \frac{1}{4(x - 1)} + \frac{1}{6(x - 1)} + \frac{1}{12(x - 1)} \right) = 12(x - 1) \cdot \frac{1}{2(x - 1)}.$$ 5. Simplificăm fiecare termen: $$12 \cancel{(x - 1)} \left( \frac{1}{4 \cancel{(x - 1)}} + \frac{1}{6 \cancel{(x - 1)}} + \frac{1}{12 \cancel{(x - 1)}} \right) = 12 \cancel{(x - 1)} \cdot \frac{1}{2 \cancel{(x - 1)}}.$$ 6. Calculăm fiecare fracție: $$12 \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} \right) = \frac{12}{2}.$$ 7. Calculăm suma din paranteză: $$\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}.$$ 8. Deci: $$12 \cdot \frac{1}{2} = 6.$$ 9. Partea dreaptă este: $$\frac{12}{2} = 6.$$ 10. Astfel, ecuația devine: $$6 = 6,$$ care este adevărată pentru orice $x \neq 1$. 11. Concluzie: Valorile reale ale lui $x$ care satisfac ecuația sunt toate numerele reale cu excepția lui $x = 1$, deoarece la $x=1$ numitorii devin zero și expresia nu este definită. Răspuns final: $$x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}.$$