1. **Plantear el problema:** Dada la ecuación de la elipse $$9x^2 + y^2 - 54x + 6y + 54 = 0$$, debemos reescribirla en su forma estándar para identificar su centro, ejes y radios. 2. **Agrupar términos y completar cuadrados:** Agrupamos términos de $x$ y $y$: $$9x^2 - 54x + y^2 + 6y + 54 = 0$$ Dividimos todo entre 9 para facilitar completar cuadrados en $x$: $$x^2 - 6x + \frac{y^2}{9} + \frac{6y}{9} + 6 = 0$$ Multiplicamos $y$ términos para completar cuadrados correctamente, pero es más sencillo completar cuadrados sin dividir todo, así que volvemos a la forma original y completamos cuadrados directamente: Para $x$: $$9x^2 - 54x = 9(x^2 - 6x)$$ Completamos cuadrado: $$x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$$ Para $y$: $$y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9$$ 3. **Sustituir y simplificar:** $$9[(x - 3)^2 - 9] + (y + 3)^2 - 9 + 54 = 0$$ Expandimos: $$9(x - 3)^2 - 81 + (y + 3)^2 - 9 + 54 = 0$$ Sumamos constantes: $$9(x - 3)^2 + (y + 3)^2 - 36 = 0$$ 4. **Pasar el término constante al otro lado:** $$9(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 36$$ 5. **Dividir toda la ecuación entre 36 para obtener la forma estándar:** $$\frac{9(x - 3)^2}{36} + \frac{(y + 3)^2}{36} = 1$$ Simplificamos: $$\frac{(x - 3)^2}{4} + \frac{(y + 3)^2}{36} = 1$$ 6. **Interpretar la forma estándar:** - Centro: $(3, -3)$ - Eje mayor vertical porque el denominador mayor está bajo $(y + 3)^2$ - Radio mayor: $b = 6$ - Radio menor: $a = 2$ **Respuesta final:** $$\frac{(x - 3)^2}{4} + \frac{(y + 3)^2}{36} = 1$$ Esta es la ecuación de la elipse en forma estándar, lista para graficar.