1. **Stel het probleem vast:** We hebben een ellips gegeven door de vergelijking $$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$$ met lastigere getallen dan het origineel. 2. **Formule en regels:** De standaardvorm van een ellips is $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ waarbij $a$ de halve lange as is en $b$ de halve korte as, met $a > b$. 3. **Bereken de coördinaten van de toppen:** De toppen liggen op $(\pm a, 0)$ en $(0, \pm b)$. Hier is $a = 6$ en $b = 4$, dus de toppen zijn: $$ (6,0), (-6,0), (0,4), (0,-4) $$ 4. **Herken de lengte van de assen:** De lange as is $2a = 12$ en de korte as is $2b = 8$. 5. **Bereken de snijpunten met lijnen $x = -5, x = -2, x = 2, x = 5$:** Voor elke $x$-waarde vullen we in de ellipsvergelijking in: $$ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1 \Rightarrow \frac{y^2}{16} = 1 - \frac{x^2}{36} $$ - Voor $x = -5$: $$ \frac{y^2}{16} = 1 - \frac{25}{36} = \frac{36}{36} - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} $$ $$ y^2 = 16 \times \frac{11}{36} = \frac{176}{36} = \frac{44}{9} $$ $$ y = \pm \sqrt{\frac{44}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{11}}{3} $$ - Voor $x = -2$: $$ \frac{y^2}{16} = 1 - \frac{4}{36} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $$ $$ y^2 = 16 \times \frac{8}{9} = \frac{128}{9} $$ $$ y = \pm \frac{8\sqrt{2}}{3} $$ - Voor $x = 2$ en $x = 5$ gelden dezelfde waarden als voor $-2$ en $-5$ respectievelijk vanwege symmetrie. Dus de snijpunten zijn: $$ (-5, \pm \frac{2\sqrt{11}}{3}), (-2, \pm \frac{8\sqrt{2}}{3}), (2, \pm \frac{8\sqrt{2}}{3}), (5, \pm \frac{2\sqrt{11}}{3}) $$ 6. **Bereken de coördinaten van de brandpunten:** De brandpunten liggen op de lange as op afstand $c$ van het midden, waarbij $$ c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $$ Dus de brandpunten zijn: $$ (\pm 2\sqrt{5}, 0) $$ **Eindantwoord:** - Toppen: $(\pm 6, 0)$ en $(0, \pm 4)$ - Lange as lengte: 12, korte as lengte: 8 - Snijpunten met lijnen $x = -5, -2, 2, 5$ zoals hierboven - Brandpunten: $(\pm 2\sqrt{5}, 0)$