1. مسئله: نوع سطح درجه دوم داده شده توسط معادله $$x^2 + z^2 - 8x - (1 - 2)y + 2z + 13 = 0$$ را مشخص کنید و شکل آن را رسم کنید. 2. ابتدا معادله را مرتب می‌کنیم و سعی می‌کنیم آن را به شکل استاندارد تبدیل کنیم. 3. معادله را بازنویسی می‌کنیم: $$x^2 - 8x + z^2 + 2z - (1 - 2)y + 13 = 0$$ 4. توجه کنید که $$-(1 - 2)y = -( -1 )y = y$$ بنابراین معادله به صورت: $$x^2 - 8x + z^2 + 2z + y + 13 = 0$$ 5. برای کامل کردن مربع‌ها در متغیرهای $$x$$ و $$z$$: - برای $$x^2 - 8x$$، کامل کردن مربع: $$x^2 - 8x = (x^2 - 8x + 16) - 16 = (x - 4)^2 - 16$$ - برای $$z^2 + 2z$$، کامل کردن مربع: $$z^2 + 2z = (z^2 + 2z + 1) - 1 = (z + 1)^2 - 1$$ 6. جایگذاری کامل کردن مربع‌ها در معادله: $$ (x - 4)^2 - 16 + (z + 1)^2 - 1 + y + 13 = 0 $$ 7. ساده‌سازی: $$ (x - 4)^2 + (z + 1)^2 + y - 4 = 0 $$ 8. معادله را به صورت y بر حسب x و z حل می‌کنیم: $$ y = 4 - (x - 4)^2 - (z + 1)^2 $$ 9. این معادله یک سهمی‌سطح (paraboloid) است که به سمت پایین باز می‌شود، زیرا $$y$$ به صورت $$4 - ext{مجموع مربع‌ها}$$ است. 10. بنابراین نوع سطح: سهمی‌سطح بیضوی (elliptic paraboloid) است که به سمت پایین باز می‌شود. پاسخ نهایی: $$\boxed{\text{elliptic paraboloid with equation } y = 4 - (x - 4)^2 - (z + 1)^2}$$