1. **Énoncé du problème :** Encadrer les expressions $$\frac{x+y}{x-y}$$ et $$x^2 - y^2$$ pour $$-\frac{3}{2} \leq x \leq -\frac{1}{2}$$ et $$\frac{5}{2} \leq y \leq \frac{7}{2}$$. 2. **Formules et règles importantes :** - Pour encadrer $$\frac{x+y}{x-y}$$, on doit trouver les bornes minimales et maximales en considérant les extrêmes des intervalles de $$x$$ et $$y$$. - Pour $$x^2 - y^2$$, on utilise la différence de carrés et les bornes des intervalles. 3. **Calcul de $$\frac{x+y}{x-y}$$ :** - Les bornes de $$x$$ sont $$[-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}]$$ et celles de $$y$$ sont $$[\frac{5}{2}, \frac{7}{2}]$$. - Le numérateur $$x+y$$ varie entre $$-\frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 1$$ et $$-\frac{1}{2} + \frac{7}{2} = 3$$. - Le dénominateur $$x-y$$ varie entre $$-\frac{1}{2} - \frac{7}{2} = -4$$ et $$-\frac{3}{2} - \frac{5}{2} = -4$$ (constamment $$-4$$). - Donc $$\frac{x+y}{x-y}$$ varie entre $$\frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$$ et $$\frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$$. - L'encadrement est donc $$-\frac{3}{4} \leq \frac{x+y}{x-y} \leq -\frac{1}{4}$$. 4. **Calcul de $$x^2 - y^2$$ :** - $$x^2$$ varie entre $$\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$$ et $$\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$. - $$y^2$$ varie entre $$\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$$ et $$\left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{49}{4}$$. - La différence $$x^2 - y^2$$ est minimale quand $$x^2$$ est minimal et $$y^2$$ maximal : $$\frac{1}{4} - \frac{49}{4} = -12$$. - Elle est maximale quand $$x^2$$ est maximal et $$y^2$$ est minimal : $$\frac{9}{4} - \frac{25}{4} = -4$$. - Donc $$-12 \leq x^2 - y^2 \leq -4$$. **Réponse finale :** $$-\frac{3}{4} \leq \frac{x+y}{x-y} \leq -\frac{1}{4}$$ $$-12 \leq x^2 - y^2 \leq -4$$