1. **Énoncé du problème :** Déterminer l'ensemble des réels $x$ pour lesquels chaque expression logarithmique a un sens, c'est-à-dire où l'argument du logarithme est strictement positif. 2. **Rappel important :** La fonction logarithme népérien $\ln(y)$ est définie uniquement pour $y > 0$. --- **Exercice 34 :** 34 a) $\ln(x - 3)$ - L'argument $x - 3$ doit être strictement positif : $$x - 3 > 0 \implies x > 3$$ 34 b) $\ln(2 - x)$ - L'argument $2 - x$ doit être strictement positif : $$2 - x > 0 \implies x < 2$$ 34 c) $\frac{1}{\ln(x)}$ - Le dénominateur $\ln(x)$ doit être défini et non nul. - Donc $x > 0$ (pour que $\ln(x)$ existe) et $\ln(x) \neq 0$. - $\ln(x) = 0$ quand $x = 1$. - Donc l'ensemble est : $$x > 0 \text{ et } x \neq 1$$ --- **Exercice 35 :** 35 a) $\ln(x^2)$ - $x^2 > 0$ sauf si $x=0$. - Donc $x \in \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. 35 b) $\ln(x^2 + 1)$ - $x^2 + 1 > 0$ pour tout $x$ réel. - Donc l'ensemble est $\mathbb{R}$. 35 c) $\ln(x^2 - 1)$ - $x^2 - 1 > 0$. - Factorisation : $(x-1)(x+1) > 0$. - Cette inégalité est vraie pour $x < -1$ ou $x > 1$. --- **Exercice 36 :** 36 a) $\ln\left(\frac{x}{x-1}\right)$ - L'argument $\frac{x}{x-1}$ doit être strictement positif. - Étudions le signe de $\frac{x}{x-1}$ : - Le dénominateur $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. - Le quotient est positif si numérateur et dénominateur ont le même signe. - Cas 1 : $x > 0$ et $x-1 > 0 \implies x > 1$. - Cas 2 : $x < 0$ et $x-1 < 0 \implies x < 0$. - Donc l'ensemble est $(-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$. 36 b) $\ln(x^2 - 3x + 2)$ - $x^2 - 3x + 2 > 0$. - Factorisation : $(x-1)(x-2) > 0$. - Cette inégalité est vraie pour $x < 1$ ou $x > 2$. --- **Résumé des ensembles de définition :** - 34 a) $]3, +\infty[$ - 34 b) $]-\infty, 2[$ - 34 c) $]0,1[ \cup ]1, +\infty[$ - 35 a) $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ - 35 b) $\mathbb{R}$ - 35 c) $]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$ - 36 a) $]-\infty, 0[ \cup ]1, +\infty[$ - 36 b) $]-\infty, 1[ \cup ]2, +\infty[$