1. **Énoncé du problème :** Montrer que $E = \frac{12^{2n} \times \left(3 \times 2^{-1}\right)^n}{6^{3n-1}}$ est un entier naturel pour $n \in \mathbb{N}$. 2. **Formule et règles importantes :** - Rappelons que $12 = 2^2 \times 3$ et $6 = 2 \times 3$. - Pour montrer que $E$ est entier naturel, il faut simplifier l'expression et vérifier que le résultat est un entier positif. 3. **Travail intermédiaire :** - Exprimons chaque terme en puissances de 2 et 3 : $$12^{2n} = (2^2 \times 3)^{2n} = 2^{4n} \times 3^{2n}$$ $$\left(3 \times 2^{-1}\right)^n = 3^n \times 2^{-n}$$ $$6^{3n-1} = (2 \times 3)^{3n-1} = 2^{3n-1} \times 3^{3n-1}$$ - Substituons dans $E$ : $$E = \frac{2^{4n} \times 3^{2n} \times 3^n \times 2^{-n}}{2^{3n-1} \times 3^{3n-1}} = \frac{2^{4n - n} \times 3^{2n + n}}{2^{3n - 1} \times 3^{3n - 1}} = \frac{2^{3n} \times 3^{3n}}{2^{3n - 1} \times 3^{3n - 1}}$$ - Simplifions les puissances : $$E = 2^{3n - (3n - 1)} \times 3^{3n - (3n - 1)} = 2^{1} \times 3^{1} = 6$$ 4. **Conclusion :** - $E = 6$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, donc $E$ est un entier naturel constant égal à 6. **Réponse finale :** $$E = 6$$