1. **Planteamiento del problema:** Un comerciante necesita comprar 120 litros de leche usando solo envases de 1 litro y 1 1/2 litros para minimizar su gasto. 2. **Datos y variables:** Sea $x$ el número de envases de 1 litro y $y$ el número de envases de 1 1/2 litros. 3. **Ecuaciones:** La cantidad total de leche debe ser 120 litros: $$x + 1.5y = 120$$ El costo total es: $$C = 4.5x + 6.5y$$ 4. **Despejamos $x$ de la primera ecuación:** $$x = 120 - 1.5y$$ 5. **Sustituimos en la función costo:** $$C = 4.5(120 - 1.5y) + 6.5y = 540 - 6.75y + 6.5y = 540 - 0.25y$$ 6. **Interpretación:** Para minimizar $C$, debemos maximizar $y$ porque el coeficiente de $y$ es negativo. 7. **Restricciones:** $x$ y $y$ deben ser enteros no negativos. 8. **Encontramos valores enteros para $y$:** Como $x = 120 - 1.5y$ debe ser entero, $1.5y$ debe ser entero. 9. **Probamos valores de $y$ múltiplos de 2 para que $1.5y$ sea entero:** - Para $y=0$, $x=120$, costo $C=540$ - Para $y=2$, $x=120 - 3=117$, costo $C=540 - 0.25(2)=539.5$ - Para $y=4$, $x=120 - 6=114$, costo $C=540 - 1=539$ - Para $y=6$, $x=120 - 9=111$, costo $C=540 - 1.5=538.5$ - Para $y=8$, $x=120 - 12=108$, costo $C=540 - 2=538$ - Para $y=10$, $x=120 - 15=105$, costo $C=540 - 2.5=537.5$ - Para $y=12$, $x=120 - 18=102$, costo $C=540 - 3=537$ 10. **Conclusión:** El costo disminuye al aumentar $y$, por lo que para minimizar el gasto, $y$ debe ser máximo tal que $x$ sea no negativo. 11. **Máximo $y$ entero:** $$x = 120 - 1.5y \\ x \geq 0 \Rightarrow 120 - 1.5y \geq 0 \Rightarrow y \leq 80$$ 12. **Probamos $y=80$:** $$x = 120 - 1.5(80) = 120 - 120 = 0$$ Costo: $$C = 4.5(0) + 6.5(80) = 520$$ 13. **Respuesta a (a):** Para minimizar el gasto, el comerciante debe comprar 0 envases de 1 litro y 80 envases de 1 1/2 litros. El gasto total mínimo es S/520. --- 14. **Pregunta (b):** ¿Es mejor comprar 6 litros en envases de 1/4 litro que en envases de 1 1/2 litros para minimizar el gasto? 15. **Costo por litro en envases de 1/4 litro:** Precio por envase de 1/4 litro: S/1.50 Litros por envase: 0.25 Costo por litro: $$\frac{1.50}{0.25} = 6$$ 16. **Costo por litro en envases de 1 1/2 litros:** Precio por envase: S/6.50 Litros por envase: 1.5 Costo por litro: $$\frac{6.50}{1.5} \approx 4.33$$ 17. **Comparación:** El costo por litro es menor en envases de 1 1/2 litros. 18. **Costo total para 6 litros:** - En envases de 1/4 litro: Número de envases: $$\frac{6}{0.25} = 24$$ Costo total: $$24 \times 1.50 = 36$$ - En envases de 1 1/2 litros: Número de envases: $$\frac{6}{1.5} = 4$$ Costo total: $$4 \times 6.50 = 26$$ 19. **Conclusión:** No estoy de acuerdo con la afirmación. Es más barato comprar 6 litros en envases de 1 1/2 litros que en envases de 1/4 litro. **Respuesta final:** - (a) Comprar 0 envases de 1 litro y 80 envases de 1 1/2 litros para un gasto mínimo de S/520. - (b) No es mejor comprar en envases de 1/4 litro para minimizar el gasto, ya que el costo por litro es mayor.