1. **Enunciado do problema:** Resolver a equação $$2 \times h(x) + 1 = h(-x)$$ onde $$h(x) = e^x$$ para $$x \in \mathbb{R}$$. 2. **Substituindo a função na equação:** $$2e^x + 1 = e^{-x}$$ 3. **Multiplicando ambos os lados por $$e^x$$ para eliminar o expoente negativo:** $$e^x \times (2e^x + 1) = e^x \times e^{-x}$$ $$2e^{2x} + e^x = \cancel{e^{x-x}} = 1$$ 4. **Definindo $$y = e^x$$, com $$y > 0$$, a equação fica:** $$2y^2 + y - 1 = 0$$ 5. **Resolvendo a equação quadrática:** Usamos a fórmula de Bhaskara: $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ onde $$a=2$$, $$b=1$$, $$c=-1$$. 6. **Calculando o discriminante:** $$\Delta = 1^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 1 + 8 = 9$$ 7. **Calculando as raízes:** $$y = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \times 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$$ 8. **As duas soluções para $$y$$ são:** - $$y_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$$ - $$y_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ 9. **Como $$y = e^x > 0$$, descartamos $$y_2 = -1$$. 10. **Encontrando $$x$$ para $$y_1 = 0.5$$:** $$e^x = 0.5$$ $$x = \ln(0.5) = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2)$$ 11. **Resposta final:** $$x = -\ln(2)$$