1. Vamos resolver a equação dada: $$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} + 2 \cdot \frac{8 - x}{\sqrt{(8 - x)^2 + 4}} = 0$$ 2. O objetivo é encontrar o valor de $x$ que satisfaz essa equação, aproximando o resultado para cerca de 6.97. 3. Para simplificar, definimos: $$a = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$$ $$b = 2 \cdot \frac{8 - x}{\sqrt{(8 - x)^2 + 4}}$$ A equação é $a + b = 0$, ou seja, $a = -b$. 4. Vamos isolar $a$ e $b$ e tentar expressar em termos que possam levar a uma equação quadrática. 5. Note que: $$a = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3^2}}$$ $$b = 2 \cdot \frac{8 - x}{\sqrt{(8 - x)^2 + 2^2}}$$ 6. Para encontrar uma aproximação, podemos tentar elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes, mas como a equação é soma zero, rearranjamos: $$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} = -2 \cdot \frac{8 - x}{\sqrt{(8 - x)^2 + 4}}$$ 7. Elevando ambos os lados ao quadrado: $$\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}\right)^2 = \left(-2 \cdot \frac{8 - x}{\sqrt{(8 - x)^2 + 4}}\right)^2$$ $$\frac{x^2}{x^2 + 9} = 4 \cdot \frac{(8 - x)^2}{(8 - x)^2 + 4}$$ 8. Multiplicando cruzado: $$x^2 \cdot ((8 - x)^2 + 4) = 4 (x^2 + 9)(8 - x)^2$$ 9. Expandindo os termos: $$(8 - x)^2 = 64 - 16x + x^2$$ Então: $$x^2 (64 - 16x + x^2 + 4) = 4 (x^2 + 9)(64 - 16x + x^2)$$ $$x^2 (68 - 16x + x^2) = 4 (x^2 + 9)(64 - 16x + x^2)$$ 10. Expandindo o lado esquerdo: $$x^2 \cdot 68 - x^2 \cdot 16x + x^2 \cdot x^2 = 68x^2 - 16x^3 + x^4$$ 11. Expandindo o lado direito: $$(x^2 + 9)(64 - 16x + x^2) = x^2(64 - 16x + x^2) + 9(64 - 16x + x^2)$$ $$= 64x^2 - 16x^3 + x^4 + 576 - 144x + 9x^2$$ $$= x^4 - 16x^3 + (64x^2 + 9x^2) + 576 - 144x$$ $$= x^4 - 16x^3 + 73x^2 + 576 - 144x$$ Multiplicando por 4: $$4x^4 - 64x^3 + 292x^2 + 2304 - 576x$$ 12. Agora, igualamos: $$68x^2 - 16x^3 + x^4 = 4x^4 - 64x^3 + 292x^2 + 2304 - 576x$$ 13. Colocando todos os termos no lado esquerdo: $$68x^2 - 16x^3 + x^4 - 4x^4 + 64x^3 - 292x^2 - 2304 + 576x = 0$$ $$x^4 - 4x^4 = -3x^4$$ $$-16x^3 + 64x^3 = 48x^3$$ $$68x^2 - 292x^2 = -224x^2$$ Então: $$-3x^4 + 48x^3 - 224x^2 + 576x - 2304 = 0$$ 14. Multiplicando por $-1$ para facilitar: $$3x^4 - 48x^3 + 224x^2 - 576x + 2304 = 0$$ 15. Essa é uma equação polinomial de grau 4. Para aproximar a raiz próxima de 6.97, podemos testar valores próximos ou usar métodos numéricos. 16. Testando $x = 7$: $$3(7)^4 - 48(7)^3 + 224(7)^2 - 576(7) + 2304 = 3(2401) - 48(343) + 224(49) - 4032 + 2304$$ $$= 7203 - 16464 + 10976 - 4032 + 2304 = -13$$ Próximo de zero, confirmando que $x \approx 6.97$ é solução. **Resposta final:** $$x \approx 6.97$$