1. O problema pede para resolver a equação $$\left|\frac{x+1}{x-1}\right|=2$$. 2. A definição do valor absoluto implica que $$\frac{x+1}{x-1}=2$$ ou $$\frac{x+1}{x-1}=-2$$. 3. Vamos resolver cada caso separadamente. 4. Caso 1: $$\frac{x+1}{x-1}=2$$. Multiplicando ambos os lados por $$x-1$$ (lembrando que $$x \neq 1$$ para evitar divisão por zero): $$x+1=2(x-1)$$ 5. Expandindo o lado direito: $$x+1=2x-2$$ 6. Subtraindo $$x$$ de ambos os lados: $$1=2x - 2 - x$$ $$1 = x - 2$$ 7. Somando 2 em ambos os lados: $$1 + 2 = x$$ $$x = 3$$ 8. Caso 2: $$\frac{x+1}{x-1}=-2$$. Multiplicando ambos os lados por $$x-1$$: $$x+1 = -2(x-1)$$ 9. Expandindo o lado direito: $$x+1 = -2x + 2$$ 10. Somando $$2x$$ em ambos os lados: $$x + 2x + 1 = 2$$ $$3x + 1 = 2$$ 11. Subtraindo 1 de ambos os lados: $$3x = 1$$ 12. Dividindo ambos os lados por 3: $$x = \frac{1}{3}$$ 13. Portanto, as soluções da equação original são $$x=3$$ e $$x=\frac{1}{3}$$. 14. Verificamos que $$x \neq 1$$ para evitar divisão por zero, e ambas as soluções são válidas. Resposta final: $$x=3$$ ou $$x=\frac{1}{3}$$.