1. **Énoncé du problème :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $A(x) = 0$ où $A(x) = -4x^4 + 20x^2 - 16$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour résoudre une équation polynomiale, on cherche à factoriser le polynôme ou utiliser des substitutions pour simplifier. 3. **Travail intermédiaire :** On peut écrire $A(x)$ sous forme factorisée. D'abord, factorisons par $-4$ : $$A(x) = -4x^4 + 20x^2 - 16 = -4(x^4 - 5x^2 + 4)$$ Posons $y = x^2$, alors : $$x^4 - 5x^2 + 4 = y^2 - 5y + 4$$ Cherchons les racines de $y^2 - 5y + 4 = 0$ : $$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 25 - 16 = 9$$ $$y_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$$ Donc : $$y^2 - 5y + 4 = (y - 1)(y - 4)$$ Revenons à $x$ : $$A(x) = -4(x^2 - 1)(x^2 - 4)$$ 4. **Résolution de l'équation $A(x) = 0$ :** $$-4(x^2 - 1)(x^2 - 4) = 0 \implies (x^2 - 1)(x^2 - 4) = 0$$ Donc : $$x^2 - 1 = 0 \quad \text{ou} \quad x^2 - 4 = 0$$ D'où : $$x = \pm 1 \quad \text{ou} \quad x = \pm 2$$ 5. **Conclusion :** Les solutions réelles de l'équation $A(x) = 0$ sont : $$x = -2, -1, 1, 2$$