1. Énonçons le problème : résoudre l'équation $2(7)^{2x+3} = 4^{5x-1}$. 2. Rappelons les règles importantes : - Pour résoudre une équation avec des puissances, il est souvent utile d'exprimer les bases sous une forme commune ou d'utiliser les logarithmes. - La propriété clé est que si $a^m = a^n$ alors $m = n$ (pour $a > 0$, $a \neq 1$). 3. Commençons par écrire l'équation : $$2 \times 7^{2x+3} = 4^{5x-1}$$ 4. Exprimons 4 en base 2 : $$4 = 2^2$$ Donc : $$4^{5x-1} = (2^2)^{5x-1} = 2^{2(5x-1)} = 2^{10x - 2}$$ 5. L'équation devient : $$2 \times 7^{2x+3} = 2^{10x - 2}$$ 6. Divisons les deux côtés par 2 : $$7^{2x+3} = 2^{10x - 3}$$ 7. Prenons le logarithme naturel (ln) des deux côtés : $$\ln\left(7^{2x+3}\right) = \ln\left(2^{10x - 3}\right)$$ 8. Utilisons la propriété $\ln(a^b) = b \ln(a)$ : $$(2x + 3) \ln(7) = (10x - 3) \ln(2)$$ 9. Développons : $$2x \ln(7) + 3 \ln(7) = 10x \ln(2) - 3 \ln(2)$$ 10. Regroupons les termes en $x$ d'un côté : $$2x \ln(7) - 10x \ln(2) = -3 \ln(2) - 3 \ln(7)$$ 11. Factorisons $x$ : $$x (2 \ln(7) - 10 \ln(2)) = -3 (\ln(2) + \ln(7))$$ 12. Résolvons pour $x$ : $$x = \frac{-3 (\ln(2) + \ln(7))}{2 \ln(7) - 10 \ln(2)}$$ 13. Simplifions le numérateur en utilisant $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ : $$\ln(2) + \ln(7) = \ln(14)$$ Donc : $$x = \frac{-3 \ln(14)}{2 \ln(7) - 10 \ln(2)}$$ 14. C'est la solution exacte. Pour une valeur approchée, calculons avec des valeurs numériques : - $\ln(2) \approx 0.6931$ - $\ln(7) \approx 1.9459$ - $\ln(14) \approx 2.6391$ Calcul du dénominateur : $$2 \times 1.9459 - 10 \times 0.6931 = 3.8918 - 6.931 = -3.0392$$ Calcul du numérateur : $$-3 \times 2.6391 = -7.9173$$ Donc : $$x \approx \frac{-7.9173}{-3.0392} = 2.605$$ **Réponse finale :** $$x \approx 2.605$$