1. **Énoncé du problème :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $$\frac{3x+1}{x} = \frac{2-x}{2}.$$ 2. **Formule et règles importantes :** Pour résoudre une équation de fractions, on commence par trouver un dénominateur commun et on multiplie chaque membre pour éliminer les dénominateurs, en faisant attention aux valeurs interdites (ici $x \neq 0$). 3. **Travail intermédiaire :** Multiplions chaque membre par $2x$ (le produit des dénominateurs) : $$2x \times \frac{3x+1}{x} = 2x \times \frac{2-x}{2}$$ Ce qui donne : $$2(3x+1) = x(2-x)$$ Développons : $$6x + 2 = 2x - x^2$$ Réorganisons tous les termes d'un côté : $$6x + 2 - 2x + x^2 = 0$$ $$x^2 + 4x + 2 = 0$$ 4. **Résolution de l'équation quadratique :** L'équation est $$x^2 + 4x + 2 = 0.$$ Calculons le discriminant : $$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times 1 \times 2 = 16 - 8 = 8.$$ Les racines sont donc : $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}.$$ 5. **Vérification des valeurs interdites :** On avait $x \neq 0$, et $-2 + \sqrt{2} \neq 0$, $-2 - \sqrt{2} \neq 0$, donc les deux solutions sont valides. **Réponse finale :** $$\boxed{x = -2 + \sqrt{2} \quad \text{ou} \quad x = -2 - \sqrt{2}}.$$