1. Énoncé du problème : Résoudre l'équation $\ln x^2 + 2 \ln x + 1 = 0$. 2. Rappel des propriétés des logarithmes : - $\ln a^b = b \ln a$ - $\ln a + \ln b = \ln (ab)$ 3. Simplifions l'équation : $$\ln x^2 + 2 \ln x + 1 = 0$$ On sait que $\ln x^2 = 2 \ln x$, donc l'équation devient : $$2 \ln x + 2 \ln x + 1 = 0$$ $$4 \ln x + 1 = 0$$ 4. Isolons $\ln x$ : $$4 \ln x = -1$$ $$\ln x = \frac{-1}{4}$$ 5. Exponentions les deux côtés pour éliminer le logarithme : $$x = e^{\frac{-1}{4}}$$ 6. Vérification de la solution : $x > 0$ car $e^{\frac{-1}{4}} > 0$, donc la solution est valide. Réponse finale : $$x = e^{-\frac{1}{4}}$$