1. **Énoncé du problème :** Résoudre l'équation $2x^2 + 3x - 2 = 0$ dans $\mathbb{R}$. 2. **Formule utilisée :** Pour résoudre une équation quadratique $ax^2 + bx + c = 0$, on utilise la formule du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. 3. **Calcul du discriminant :** $$\Delta = 3^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25$$ 4. **Calcul des racines :** $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{2 \times 2}$$ 5. **Calcul de chaque solution :** - Pour $x_1$ : $$x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{\cancel{2}}{\cancel{4}} = \frac{1}{2}$$ - Pour $x_2$ : $$x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = \frac{\cancel{-8}}{\cancel{4}} = -2$$ 6. **Tableau de signe du trinôme $2x^2 + 3x - 2$ :** Le trinôme est un polynôme du second degré avec $a=2 > 0$, donc la parabole est tournée vers le haut. Les racines sont $x = -2$ et $x = \frac{1}{2}$. - Pour $x < -2$, le trinôme est positif. - Entre $-2$ et $\frac{1}{2}$, le trinôme est négatif. - Pour $x > \frac{1}{2}$, le trinôme est positif. 7. **Solutions de l'inéquation $2x^2 + 3x - 2 < 0$ :** D'après le tableau de signe, le trinôme est négatif entre les racines. Donc, les solutions sont : $$-2 < x < \frac{1}{2}$$