1. **Énoncé du problème :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $$x^2 - 1 + 4(x^2 - 1) + 4x - 4 = 0.$$ 2. **Formule et règles importantes :** On va d'abord développer et simplifier l'expression. Rappel : pour résoudre une équation polynomiale, on regroupe tous les termes d'un côté et on factorise si possible. 3. **Travail intermédiaire :** $$x^2 - 1 + 4(x^2 - 1) + 4x - 4 = 0$$ Développons : $$x^2 - 1 + 4x^2 - 4 + 4x - 4 = 0$$ Regroupons les termes similaires : $$x^2 + 4x^2 + 4x - 1 - 4 - 4 = 0$$ $$5x^2 + 4x - 9 = 0$$ 4. **Résolution de l'équation quadratique :** On utilise la formule du discriminant : $$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times 5 \times (-9) = 16 + 180 = 196$$ 5. **Calcul des racines :** $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm 14}{2 \times 5}$$ 6. **Solutions :** - Pour $+$ : $$x = \frac{-4 + 14}{10} = \frac{10}{10} = 1$$ - Pour $-$ : $$x = \frac{-4 - 14}{10} = \frac{-18}{10} = -\frac{9}{5}$$ **Réponse finale :** $$\boxed{x = 1 \text{ ou } x = -\frac{9}{5}}$$