1. Énonçons le problème : Résoudre l'équation $$x + 1 + \sqrt{x} - 1 = 0$$. 2. Simplifions l'équation en combinant les termes constants : $$x + \sqrt{x} + (1 - 1) = 0 \Rightarrow x + \sqrt{x} = 0$$. 3. Posons $$y = \sqrt{x}$$, alors $$x = y^2$$. L'équation devient : $$y^2 + y = 0$$. 4. Factorisons : $$y(y + 1) = 0$$. 5. Résolvons chaque facteur : - $$y = 0$$ - $$y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1$$ 6. Puisque $$y = \sqrt{x} \geq 0$$, la solution $$y = -1$$ est rejetée. 7. Donc, $$\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$$. 8. Vérifions la solution dans l'équation initiale : $$0 + 1 + \sqrt{0} - 1 = 0 + 1 + 0 - 1 = 0$$, ce qui est vrai. La solution finale est $$\boxed{0}$$.