1. **Énoncé du problème :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{-5x^2 + 3x + 2} = 5x - 1$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour résoudre une équation avec une racine carrée, on doit d'abord s'assurer que l'expression sous la racine est positive ou nulle : $$-5x^2 + 3x + 2 \geq 0.$$ Ensuite, on élève les deux membres au carré pour éliminer la racine, en faisant attention aux solutions extrêmes qui peuvent apparaître. 3. **Étape 1 : Domaine de définition** $$-5x^2 + 3x + 2 \geq 0$$ On résout l'inéquation : $$-5x^2 + 3x + 2 \geq 0 \iff 5x^2 - 3x - 2 \leq 0.$$ Le polynôme $5x^2 - 3x - 2$ a pour discriminant : $$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 5 \times (-2) = 9 + 40 = 49.$$ Les racines sont : $$x_1 = \frac{3 - 7}{10} = -\frac{2}{5}, \quad x_2 = \frac{3 + 7}{10} = 1.$$ Le polynôme est positif à l'extérieur des racines et négatif à l'intérieur, donc : $$5x^2 - 3x - 2 \leq 0 \iff x \in \left[-\frac{2}{5}, 1\right].$$ 4. **Étape 2 : Équation à résoudre** $$\sqrt{-5x^2 + 3x + 2} = 5x - 1.$$ Le membre de droite doit être positif ou nul : $$5x - 1 \geq 0 \implies x \geq \frac{1}{5}.$$ Donc, le domaine de recherche est l'intersection : $$\left[-\frac{2}{5}, 1\right] \cap \left[\frac{1}{5}, +\infty\right) = \left[\frac{1}{5}, 1\right].$$ 5. **Étape 3 : Élever au carré** Pour $x \in \left[\frac{1}{5}, 1\right]$, on élève au carré : $$-5x^2 + 3x + 2 = (5x - 1)^2 = 25x^2 - 10x + 1.$$ On obtient : $$-5x^2 + 3x + 2 = 25x^2 - 10x + 1 \implies 0 = 25x^2 - 10x + 1 + 5x^2 - 3x - 2 = 30x^2 - 13x - 1.$$ 6. **Étape 4 : Résolution du polynôme quadratique** Le discriminant est : $$\Delta = (-13)^2 - 4 \times 30 \times (-1) = 169 + 120 = 289.$$ Les racines sont : $$x = \frac{13 \pm 17}{60}.$$ Donc : $$x_1 = \frac{13 - 17}{60} = -\frac{4}{60} = -\frac{1}{15}, \quad x_2 = \frac{13 + 17}{60} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}.$$ 7. **Étape 5 : Vérification dans le domaine** Seule la racine $x = \frac{1}{2}$ appartient à $\left[\frac{1}{5}, 1\right]$. Vérifions la solution : $$\sqrt{-5(\frac{1}{2})^2 + 3(\frac{1}{2}) + 2} = \sqrt{-5 \times \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + 2} = \sqrt{-\frac{5}{4} + \frac{3}{2} + 2} = \sqrt{-1.25 + 1.5 + 2} = \sqrt{2.25} = 1.5,$$ $$5 \times \frac{1}{2} - 1 = 2.5 - 1 = 1.5.$$ Les deux membres sont égaux, donc $x = \frac{1}{2}$ est solution. **Réponse finale :** $$\boxed{x = \frac{1}{2}}.$$