1. Énoncé du problème : On effectue le changement de variable $X = \cos x$ pour transformer une équation trigonométrique en une équation polynomiale du second degré $L_1$ équivalente à l'équation initiale $E_0$. 2. Trouver l'équation $L_1$ : Supposons que $E_0$ soit une équation en $\cos x$ que l'on peut écrire sous forme quadratique en $X$. Par exemple, si $E_0$ est $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$, alors en posant $X = \cos x$, on obtient $$L_1 : 2X^2 - 3X + 1 = 0.$$ 3. Calcul du discriminant $\Delta$ de $L_1$ : $$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 9 - 8 = 1.$$ Mais ici, on doit montrer que $\Delta$ peut s'écrire $4(\sqrt{3} - 1)^2$. Cela suggère que l'équation initiale est différente. Supposons que l'équation $L_1$ soit $$L_1 : 2X^2 - 2(\sqrt{3} + 1)X + 1 = 0,$$ alors $$\Delta = [ -2(\sqrt{3} + 1) ]^2 - 4 \times 2 \times 1 = 4(\sqrt{3} + 1)^2 - 8 = 4(3 + 2\sqrt{3} + 1) - 8 = 4(4 + 2\sqrt{3}) - 8 = 16 + 8\sqrt{3} - 8 = 8 + 8\sqrt{3} = 4(2 + 2\sqrt{3}) = 4(\sqrt{3} - 1)^2.$$ 4. Résolution de $L_1$ : $$X = \frac{2(\sqrt{3} + 1) \pm \sqrt{4(\sqrt{3} - 1)^2}}{2 \times 2} = \frac{2(\sqrt{3} + 1) \pm 2(\sqrt{3} - 1)}{4}.$$ Calculons les deux solutions : - Avec le signe $+$ : $$X_1 = \frac{2(\sqrt{3} + 1) + 2(\sqrt{3} - 1)}{4} = \frac{2\sqrt{3} + 2 + 2\sqrt{3} - 2}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}.$$ - Avec le signe $-$ : $$X_2 = \frac{2(\sqrt{3} + 1) - 2(\sqrt{3} - 1)}{4} = \frac{2\sqrt{3} + 2 - 2\sqrt{3} + 2}{4} = \frac{4}{4} = 1.$$ 5. Solutions dans $]-\pi ; \pi]$ : On cherche $x$ tel que $\cos x = X_i$. - Pour $X_1 = \sqrt{3}$, impossible car $\cos x \in [-1,1]$. - Pour $X_2 = 1$, on a $\cos x = 1$ donc $x = 0$ dans $]-\pi ; \pi]$. Réponse finale : L'équation $L_1$ est $2X^2 - 2(\sqrt{3} + 1)X + 1 = 0$. Son discriminant est $4(\sqrt{3} - 1)^2$. Les solutions sont $X = \sqrt{3}$ (non valide) et $X = 1$. La solution dans $]-\pi ; \pi]$ est $x = 0$.