1. نبدأ بكتابة المعادلة المعطاة: $$1-\frac{e^x}{(e^x-1)^2}=0$$ 2. الهدف هو إيجاد قيم $x$ التي تحقق المعادلة. 3. نعيد ترتيب المعادلة: $$1=\frac{e^x}{(e^x-1)^2}$$ 4. نضرب طرفي المعادلة في $(e^x-1)^2$: $$(e^x-1)^2 = e^x$$ 5. نوسع الطرف الأيسر: $$(e^x)^2 - 2e^x + 1 = e^{2x} - 2e^x + 1$$ 6. إذن المعادلة تصبح: $$e^{2x} - 2e^x + 1 = e^x$$ 7. ننقل كل الحدود إلى جهة واحدة: $$e^{2x} - 2e^x + 1 - e^x = 0$$ $$e^{2x} - 3e^x + 1 = 0$$ 8. نستخدم التعويض $t = e^x$ حيث $t > 0$: $$t^2 - 3t + 1 = 0$$ 9. نحل المعادلة التربيعية باستخدام صيغة الحل: $$t = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$$ 10. نحسب الجذور: $$t_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} > 0$$ $$t_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} > 0$$ 11. بما أن $t = e^x$، نأخذ اللوغاريتم الطبيعي: $$x_1 = \ln\left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)$$ $$x_2 = \ln\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right)$$ 12. إذن المعادلة لها حلان حقيقيان وهما $x_1$ و $x_2$ كما هو موضح أعلاه.