1. Énoncé du problème : Trouver l'équation de la tangente à la courbe de la fonction $$f(x) = \frac{3x^3 + 2x^2 - 1}{x^2}$$ au point d'abscisse $x=1$. 2. Rappel de la formule : L'équation de la tangente en un point $x=a$ est donnée par $$y = f(a) + f'(a)(x - a)$$ où $f'(a)$ est la dérivée de $f$ en $a$. 3. Calcul de $f(1)$ : $$f(1) = \frac{3(1)^3 + 2(1)^2 - 1}{(1)^2} = \frac{3 + 2 - 1}{1} = 4$$ 4. Simplifions $f(x)$ avant de dériver : $$f(x) = \frac{3x^3}{x^2} + \frac{2x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2} = 3x + 2 - x^{-2}$$ 5. Calcul de la dérivée $f'(x)$ : $$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(2) - \frac{d}{dx}(x^{-2}) = 3 + 0 + 2x^{-3} = 3 + \frac{2}{x^3}$$ 6. Calcul de $f'(1)$ : $$f'(1) = 3 + \frac{2}{1^3} = 3 + 2 = 5$$ 7. Équation de la tangente en $x=1$ : $$y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 4 + 5(x - 1) = 4 + 5x - 5 = 5x - 1$$ Réponse finale : L'équation de la tangente est $$y = 5x - 1$$.