1. Énoncé du problème : Résoudre l'équation $$|2x - 3| + |x + 1| = 5$$ et montrer que $x=1$ est une solution. 2. Rappel des propriétés des valeurs absolues : - Pour tout réel $a$, $|a| = a$ si $a \geq 0$, sinon $|a| = -a$. - L'équation implique de considérer les cas selon le signe des expressions à l'intérieur des valeurs absolues. 3. Vérification que $x=1$ est solution : Calculons $$|2(1) - 3| + |1 + 1| = |2 - 3| + |2| = | -1| + 2 = 1 + 2 = 3 \neq 5$$. Donc $x=1$ n'est pas solution. Il y a une erreur dans l'énoncé ou la vérification. 4. Reprenons la vérification correctement : $$|2(1) - 3| + |1 + 1| = |2 - 3| + |2| = 1 + 2 = 3$$ Ce n'est pas égal à 5, donc $x=1$ n'est pas solution. 5. Étudions les cas pour résoudre l'équation : - Cas 1 : $2x - 3 \geq 0$ et $x + 1 \geq 0$ \Rightarrow $x \geq \frac{3}{2}$ et $x \geq -1$ donc $x \geq \frac{3}{2}$. L'équation devient $$2x - 3 + x + 1 = 5 \Rightarrow 3x - 2 = 5 \Rightarrow 3x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{3}$$. Vérifions si $x=\frac{7}{3} \geq \frac{3}{2}$ : oui, donc $x=\frac{7}{3}$ est solution. - Cas 2 : $2x - 3 \geq 0$ et $x + 1 < 0$ \Rightarrow $x \geq \frac{3}{2}$ et $x < -1$ impossible. - Cas 3 : $2x - 3 < 0$ et $x + 1 \geq 0$ \Rightarrow $x < \frac{3}{2}$ et $x \geq -1$. L'équation devient $$-(2x - 3) + x + 1 = 5 \Rightarrow -2x + 3 + x + 1 = 5 \Rightarrow -x + 4 = 5 \Rightarrow -x = 1 \Rightarrow x = -1$$. Vérifions si $x=-1$ est dans l'intervalle $[-1, \frac{3}{2})$ : oui, donc $x=-1$ est solution. - Cas 4 : $2x - 3 < 0$ et $x + 1 < 0$ \Rightarrow $x < \frac{3}{2}$ et $x < -1$ donc $x < -1$. L'équation devient $$-(2x - 3) - (x + 1) = 5 \Rightarrow -2x + 3 - x - 1 = 5 \Rightarrow -3x + 2 = 5 \Rightarrow -3x = 3 \Rightarrow x = -1$$. Mais $x=-1$ n'est pas strictement inférieur à $-1$, donc pas solution ici. 6. Conclusion : Les solutions de l'équation sont $x = -1$ et $x = \frac{7}{3}$. 7. Vérification finale : - Pour $x=-1$ : $$|2(-1) - 3| + |-1 + 1| = |-2 - 3| + |0| = | -5| + 0 = 5$$. - Pour $x=\frac{7}{3}$ : $$|2 \times \frac{7}{3} - 3| + |\frac{7}{3} + 1| = |\frac{14}{3} - 3| + |\frac{7}{3} + \frac{3}{3}| = |\frac{14}{3} - \frac{9}{3}| + |\frac{10}{3}| = |\frac{5}{3}| + \frac{10}{3} = \frac{5}{3} + \frac{10}{3} = 5$$. Donc $x=1$ n'est pas solution, mais $x=-1$ et $x=\frac{7}{3}$ le sont.