1. Énoncé : Trouver les coefficients $u$ et $v$ tels que $20u + 11v = 1$ en utilisant l'algorithme d'Euclide. 2. Appliquer l'algorithme d'Euclide pour calculer le PGCD de 20 et 11 : $$20 = 11 \times 1 + 9$$ $$11 = 9 \times 1 + 2$$ $$9 = 2 \times 4 + 1$$ $$2 = 1 \times 2 + 0$$ Le PGCD est 1. 3. Remonter pour exprimer 1 comme combinaison linéaire de 20 et 11 : $$1 = 9 - 2 \times 4$$ $$= 9 - (11 - 9) \times 4 = 5 \times 9 - 4 \times 11$$ $$= 5 \times (20 - 11) - 4 \times 11 = 5 \times 20 - 9 \times 11$$ Donc $u = 5$, $v = -9$. --- 4. Énoncé : Vérifier s'il existe un unique couple $(x,y)$ solution en entiers au carré pour $9x - 5y = 15$ avec $0 \leq x \leq 5$. 5. Tester les valeurs entières de $x$ de 0 à 5 et vérifier si $y$ est un entier au carré : Pour $x=0$, $9\times0 - 5y = 15 \Rightarrow y = -3$ (non entier au carré). Pour $x=1$, $9 - 5y = 15 \Rightarrow y = -\frac{6}{5}$ (non entier). Pour $x=2$, $18 - 5y = 15 \Rightarrow y = \frac{3}{5}$ (non entier). Pour $x=3$, $27 - 5y = 15 \Rightarrow y = \frac{12}{5}$ (non entier). Pour $x=4$, $36 - 5y = 15 \Rightarrow y = \frac{21}{5}$ (non entier). Pour $x=5$, $45 - 5y = 15 \Rightarrow y = 6$ (6 n'est pas un carré parfait). 6. Conclusion : Il n'existe pas de couple $(x,y)$ solution avec $y$ entier au carré dans cet intervalle. La réponse est Faux. --- 7. Énoncé : Trouver l'ensemble des solutions entières de l'équation $7x - 11y = 3$. 8. Vérifier les options données : Option A : $(13 + 11k, 8 + 7k)$ Calculons $7(13 + 11k) - 11(8 + 7k) = 91 + 77k - 88 - 77k = 3$. Option A est correcte. Option B : $(13 + 11k, 8 - 7k)$ $7(13 + 11k) - 11(8 - 7k) = 91 + 77k - 88 + 77k = 3 + 154k \neq 3$ sauf si $k=0$. Option B incorrect. Option C : $(5 - 11k, -3 - 7k)$ $7(5 - 11k) - 11(-3 - 7k) = 35 - 77k + 33 + 77k = 68 \neq 3$. Option C incorrect. 9. Conclusion : L'ensemble des solutions est donné par l'option A. --- 10. Énoncé : Déterminer le nombre de solutions entières au carré de l'équation $51x + 39y = 2003$. 11. Calcul du PGCD de 51 et 39 : $$51 = 39 \times 1 + 12$$ $$39 = 12 \times 3 + 3$$ $$12 = 3 \times 4 + 0$$ PGCD = 3. 12. Vérifier si 3 divise 2003 : $2003 \div 3 = 667.666...$ non entier. 13. Conclusion : L'équation n'admet aucune solution entière. Réponse : Option D. --- 14. Énoncé : Trouver les coefficients de Bézout $(u,v)$ pour l'équation $368u + 117v = 1$. 15. Appliquer l'algorithme d'Euclide : $$368 = 117 \times 3 + 17$$ $$117 = 17 \times 6 + 15$$ $$17 = 15 \times 1 + 2$$ $$15 = 2 \times 7 + 1$$ $$2 = 1 \times 2 + 0$$ 16. Remonter pour exprimer 1 : $$1 = 15 - 2 \times 7$$ $$= 15 - (17 - 15) \times 7 = 8 \times 15 - 7 \times 17$$ $$= 8 \times (117 - 17 \times 6) - 7 \times 17 = 8 \times 117 - 55 \times 17$$ $$= 8 \times 117 - 55 \times (368 - 117 \times 3) = 173 \times 117 - 55 \times 368$$ 17. Donc $u = -55$, $v = 173$. Réponses finales : 1) $u=5$, $v=-9$ 2) Faux 3) Option A 4) Option D 5) $(u,v) = (-55, 173)$