1. **Résoudre l'équation** $\frac{4}{x-3} + \frac{5}{x+1} = 0$ et l'équation $(3x - 2)(4x + 1) = 2x(6x - 4)$. Pour la première équation, on cherche un dénominateur commun et on résout l'équation. 2. **Tableau de signe de** $2x - 1$. 3. **Solution de l'inéquation** $2x - 1 < 0$. 4. **Calcul du discriminant** $\Delta$ du trinôme $3x^2 + 2x - 1$. 5. **Solutions de** $3x^2 + 2x = 1$. 6. **Factorisation de** $3x^2 + 2x - 1$. 7. **Tableau de signe de** $3x^2 + 2x - 1$. 8. **Solution de l'inéquation** $3x^2 + 2x - 1 \leq 0$. 9. **Résolution de** $3t^4 + 2t^2 - 1 = 0$ avec $t = x^2$. 10. **Résolution des équations** $-x^2 + 2x - 1 = 0$ et $x^2 - 9 = 0$. 11. **Tableau de signe de** $\frac{-x^2 + 2x - 1}{x^2 - 9}$. 12. **Solution de l'inéquation** $\frac{-x^2 + 2x - 1}{x^2 - 9} \geq 0$. 13. **Tracer les droites** $(D): 3x + y - 1 = 0$ et $(\Delta): \begin{cases} x = -5 - 2t \\ y = 1 + t \end{cases}$. 14. **Montrer que** $(\Delta): x + 2y + 3 = 0$. 15. **Solution du système** $\begin{cases} 3x + y = 1 \\ x + 2y = -3 \end{cases}$. 16. **Résolution par la méthode de Cramer** du système précédent. --- **Détail des étapes pour quelques problèmes clés :** 1. Résoudre $\frac{4}{x-3} + \frac{5}{x+1} = 0$: - Multiplier par $(x-3)(x+1)$ pour éliminer les dénominateurs: $$4(x+1) + 5(x-3) = 0$$ - Développer: $$4x + 4 + 5x - 15 = 0$$ - Simplifier: $$9x - 11 = 0$$ - Résoudre: $$9x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{9}$$ 2. Résoudre $(3x - 2)(4x + 1) = 2x(6x - 4)$: - Développer le membre de gauche: $$12x^2 + 3x - 8x - 2 = 12x^2 - 5x - 2$$ - Développer le membre de droite: $$12x^2 - 8x$$ - Équation: $$12x^2 - 5x - 2 = 12x^2 - 8x$$ - Soustraire $12x^2$ des deux côtés: $$-5x - 2 = -8x$$ - Ajouter $8x$ des deux côtés: $$3x - 2 = 0$$ - Résoudre: $$3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$$ 3. Tableau de signe de $2x - 1$: - Racine: $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ - Signe: Pour $x < \frac{1}{2}$, $2x - 1 < 0$. Pour $x > \frac{1}{2}$, $2x - 1 > 0$. 4. Solution de $2x - 1 < 0$: $$x < \frac{1}{2}$$ 5. Calcul du discriminant $\Delta$ de $3x^2 + 2x - 1$: $$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 3 \times (-1) = 4 + 12 = 16$$ 6. Solutions de $3x^2 + 2x = 1$: - Réécrire: $$3x^2 + 2x - 1 = 0$$ - Solutions: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \times 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}$$ - Donc: $$x_1 = \frac{-2 - 4}{6} = -1$$ $$x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}$$ 7. Factorisation de $3x^2 + 2x - 1$: $$3x^2 + 2x - 1 = 3(x + 1)(x - \frac{1}{3})$$ 8. Tableau de signe de $3x^2 + 2x - 1$: - Racines: $-1$ et $\frac{1}{3}$ - Parabolique vers le haut (coefficient de $x^2$ positif) - Signe: Pour $x < -1$, positif Entre $-1$ et $\frac{1}{3}$, négatif Pour $x > \frac{1}{3}$, positif 9. Solution de $3x^2 + 2x - 1 \leq 0$: $$-1 \leq x \leq \frac{1}{3}$$ 10. Résolution de $3t^4 + 2t^2 - 1 = 0$ avec $t = x^2$: - Poser $u = t^2$: $$3u^2 + 2u - 1 = 0$$ - Calcul du discriminant: $$\Delta = 2^2 - 4 \times 3 \times (-1) = 4 + 12 = 16$$ - Solutions: $$u = \frac{-2 \pm 4}{6}$$ - $u_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, $u_2 = -1$ (non valide car $u = t^2 \geq 0$) - Donc $t^2 = \frac{1}{3}$, $t = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ - Comme $t = x^2 \geq 0$, on prend $t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ - Résoudre $x^2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$: $$x = \pm \sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}}$$ 11. Résolution de $-x^2 + 2x - 1 = 0$: - Discriminant: $$\Delta = 2^2 - 4 \times (-1) \times (-1) = 4 - 4 = 0$$ - Solution unique: $$x = \frac{-2}{2 \times (-1)} = 1$$ 12. Résolution de $x^2 - 9 = 0$: $$x = \pm 3$$ 13. Tableau de signe de $\frac{-x^2 + 2x - 1}{x^2 - 9}$: - Zéros du numérateur: $x=1$ - Zéros du dénominateur: $x=\pm 3$ - Étudier les signes sur intervalles délimités par $-3, 1, 3$ 14. Solution de $\frac{-x^2 + 2x - 1}{x^2 - 9} \geq 0$: - Résoudre en tenant compte des signes et des valeurs interdites $x=\pm 3$ 15. Montrer que $(\Delta): x + 2y + 3 = 0$ à partir de la paramétrisation: - $x = -5 - 2t$, $y = 1 + t$ - Substituer dans $x + 2y + 3$: $$-5 - 2t + 2(1 + t) + 3 = -5 - 2t + 2 + 2t + 3 = 0$$ 16. Résolution du système $\begin{cases} 3x + y = 1 \\ x + 2y = -3 \end{cases}$ par Cramer: - Déterminant: $$D = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 \times 2 - 1 \times 1 = 6 - 1 = 5$$ - Déterminant $D_x$: $$D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \times 2 - 1 \times (-3) = 2 + 3 = 5$$ - Déterminant $D_y$: $$D_y = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = 3 \times (-3) - 1 \times 1 = -9 - 1 = -10$$ - Solutions: $$x = \frac{D_x}{D} = \frac{5}{5} = 1$$ $$y = \frac{D_y}{D} = \frac{-10}{5} = -2$$ **Réponses finales:** - $x = \frac{11}{9}$ pour la première équation. - $x = \frac{2}{3}$ pour la deuxième équation. - Solution de $2x - 1 < 0$ est $x < \frac{1}{2}$. - Solutions de $3x^2 + 2x = 1$ sont $x = -1$ et $x = \frac{1}{3}$. - Solution de $3x^2 + 2x - 1 \leq 0$ est $-1 \leq x \leq \frac{1}{3}$. - Solutions de $3t^4 + 2t^2 - 1 = 0$ sont $x = \pm \sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}}$. - Solutions de $-x^2 + 2x - 1 = 0$ est $x = 1$. - Solutions de $x^2 - 9 = 0$ sont $x = \pm 3$. - Solution du système linéaire est $(x,y) = (1, -2)$.