1. **Exercice 1** **a. Résoudre l'inéquation** $(-1 - x)(4x + 4) < 0$ - On commence par identifier les racines du produit : $$-1 - x = 0 \Rightarrow x = -1$$ $$4x + 4 = 0 \Rightarrow x = -1$$ - Les racines sont donc $x = -1$ (double racine). - Le produit est nul en $x = -1$. - Pour $x < -1$, prenons $x = -2$ : $$(-1 - (-2)) = 1 > 0, \quad 4(-2) + 4 = -8 + 4 = -4 < 0$$ Produit $> 0 \times < 0 = < 0$ donc négatif. - Pour $x > -1$, prenons $x = 0$ : $$(-1 - 0) = -1 < 0, \quad 4(0) + 4 = 4 > 0$$ Produit $< 0 \times > 0 = < 0$ donc négatif. - Le produit est négatif partout sauf en $x = -1$ où il est nul. - **Solution** : $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ mais comme c'est strictement inférieur à 0, on exclut $x = -1$. **b. Résoudre l'équation** $5x^2 = -3x$ - Réécrivons : $$5x^2 + 3x = 0$$ - Factorisons : $$x(5x + 3) = 0$$ - Solutions : $$x = 0 \quad \text{ou} \quad 5x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{5}$$ 2. **Exercice 2** - Fonction : $f(x) = -5x^2 + 10x - 1$ définie sur $[2;5]$. - Calcul du dérivé : $$f'(x) = -10x + 10$$ - Trouvons les points critiques : $$f'(x) = 0 \Rightarrow -10x + 10 = 0 \Rightarrow x = 1$$ - $x=1$ n'est pas dans $[2;5]$, donc pas de point critique dans l'intervalle. - Calcul des valeurs aux bornes : $$f(2) = -5(4) + 20 - 1 = -20 + 20 - 1 = -1$$ $$f(5) = -5(25) + 50 - 1 = -125 + 50 - 1 = -76$$ - Comme $f'(x) = -10x + 10$ est décroissante, sur $[2;5]$, $f'(x) < 0$ donc $f$ est décroissante. - **Tableau de variations** : $$\begin{array}{c|ccc} x & 2 & & 5 \\ f'(x) & & - & \\ f(x) & -1 & \searrow & -76 \\\end{array}$$ 3. **Exercice 3** Fonction : $f(x) = 2x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{4}$ 1. **Forme canonique** - Formule : $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$ avec $$h = -\frac{b}{2a}$$ et $$k = f(h)$$ - Calcul de $h$ : $$a = 2, \quad b = -\frac{3}{2}$$ $$h = -\frac{-\frac{3}{2}}{2 \times 2} = \frac{\frac{3}{2}}{4} = \frac{3}{8}$$ - Calcul de $k$ : $$k = f\left(\frac{3}{8}\right) = 2\left(\frac{3}{8}\right)^2 - \frac{3}{2} \times \frac{3}{8} + \frac{1}{4}$$ $$= 2 \times \frac{9}{64} - \frac{9}{16} + \frac{1}{4} = \frac{18}{64} - \frac{9}{16} + \frac{1}{4}$$ $$= \frac{9}{32} - \frac{18}{32} + \frac{8}{32} = \frac{9 - 18 + 8}{32} = -\frac{1}{32}$$ - **Forme canonique** : $$f(x) = 2\left(x - \frac{3}{8}\right)^2 - \frac{1}{32}$$ - **Sommet** : $\left(\frac{3}{8}, -\frac{1}{32}\right)$ 2. **Zéros de la fonction** - Résoudre $f(x) = 0$ : $$2x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{4} = 0$$ - Coefficients : $$a=2, b=-\frac{3}{2}, c=\frac{1}{4}$$ - Calcul du discriminant : $$\Delta = b^2 - 4ac = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 4 \times 2 \times \frac{1}{4} = \frac{9}{4} - 2 = \frac{1}{4} > 0$$ - Racines : $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}}{4}$$ - Calcul : $$x_1 = \frac{3/2 - 1/2}{4} = \frac{1}{4}$$ $$x_2 = \frac{3/2 + 1/2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ **a. Intersection avec l'axe des abscisses** - Oui, en $x=\frac{1}{4}$ et $x=\frac{1}{2}$. - Coordonnées : $$\left(\frac{1}{4}, 0\right), \quad \left(\frac{1}{2}, 0\right)$$ **b. Tableau des signes** - Parabole ouverte vers le haut ($a=2>0$). - $f(x) < 0$ entre les racines, $f(x) > 0$ en dehors. - Tableau : $$\begin{array}{c|ccc|ccc} x & -\infty & & \frac{1}{4} & & \frac{1}{2} & & +\infty \\ f(x) & + & 0 & - & 0 & + & \\\end{array}$$ 3. **Intersection avec l'axe des ordonnées** - $x=0$ : $$f(0) = 2 \times 0 - 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$ - Coordonnée : $(0, \frac{1}{4})$ 4. **Esquisse du graphe** - Parabole avec sommet $\left(\frac{3}{8}, -\frac{1}{32}\right)$ - Zéros en $\frac{1}{4}$ et $\frac{1}{2}$ - Intersection ordonnée en $(0, \frac{1}{4})$ - Ouverture vers le haut 4. **Exercice 4** Coût de production : $$C(q) = 50q^2 + 1000q + 80000$$ avec $q$ en milliers de voitures, $C(q)$ en milliers d'euros. 1. **Coût fixe** - Coût fixe = coût pour $q=0$ : $$C(0) = 80000$$ - Donc coût fixe = 80000 milliers d'euros = 80 000 000 euros. 2. **Quantité pour $C(q) > 200000000$ euros** - Convertir 200 000 000 euros en milliers : 200000 - Résoudre : $$50q^2 + 1000q + 80000 > 200000$$ $$50q^2 + 1000q + 80000 - 200000 > 0$$ $$50q^2 + 1000q - 120000 > 0$$ Divisons par 50 : $$q^2 + 20q - 2400 > 0$$ - Calcul du discriminant : $$\Delta = 20^2 - 4 \times 1 \times (-2400) = 400 + 9600 = 10000$$ - Racines : $$q = \frac{-20 \pm 100}{2}$$ - Solutions : $$q_1 = \frac{-20 - 100}{2} = -60$$ (non valide car $q \geq 0$) $$q_2 = \frac{-20 + 100}{2} = 40$$ - Inéquation $q^2 + 20q - 2400 > 0$ est vraie pour $q < -60$ ou $q > 40$. - Comme $q \geq 0$, on retient : $$q > 40$$ - Donc, la production doit dépasser 40 000 voitures. 3. **Recette pour $q=40$** - Prix unitaire = 6000 euros = 6 milliers d'euros - Recette : $$R(q) = 6q$$ - Pour $q=40$ : $$R(40) = 6 \times 40 = 240$$ milliers d'euros = 240 000 000 euros 4. **Expression de la recette** - $$R(q) = 6q$$ (en milliers d'euros)