1. Résoudre l'équation (E₁) : $$2x - 1 = 2 \left( x - \frac{3}{2} \right) + 3 \left( x - \frac{1}{3} \right)$$ Formule utilisée : on développe et simplifie les deux membres. Développement : $$2x - 1 = 2x - 3 + 3x - 1$$ Simplification : $$2x - 1 = 5x - 4$$ Soustraction de $2x$ des deux côtés : $$\cancel{2x} - 1 = 5x - \cancel{2x} - 4 \Rightarrow -1 = 3x - 4$$ Ajout de 4 des deux côtés : $$-1 + 4 = 3x - 4 + 4 \Rightarrow 3 = 3x$$ Division par 3 : $$\frac{3}{\cancel{3}} = \frac{3x}{\cancel{3}} \Rightarrow 1 = x$$ Solution : $x = 1$. 2. Résoudre les inéquations : a) (I₁) : $ (3 - 2x)(x - 1) < 0 $ Les racines sont $x = \frac{3}{2}$ et $x = 1$. Tableau de signes : - Pour $x < 1$, $(3 - 2x) > 0$ et $(x - 1) < 0$ donc produit $< 0$. - Pour $1 < x < \frac{3}{2}$, $(3 - 2x) > 0$ et $(x - 1) > 0$ donc produit $> 0$. - Pour $x > \frac{3}{2}$, $(3 - 2x) < 0$ et $(x - 1) > 0$ donc produit $< 0$. Solution : $x \in (-\infty, 1) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)$. b) (I₂) : $\frac{3 - 2x}{x - 1} \geq 0$ Racines du numérateur : $x = \frac{3}{2}$, racine du dénominateur : $x = 1$ (exclue). Tableau de signes : - Pour $x < 1$, numérateur $> 0$, dénominateur $< 0$, fraction $< 0$. - Pour $1 < x < \frac{3}{2}$, numérateur $> 0$, dénominateur $> 0$, fraction $> 0$. - Pour $x > \frac{3}{2}$, numérateur $< 0$, dénominateur $> 0$, fraction $< 0$. Solution : $x \in (1, \frac{3}{2}]$. 3. a) Résoudre l'équation (E₂) : $$2x^2 + 3x - 2 = 0$$ Formule du discriminant : $$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25$$ Racines : $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 - 5}{4} = -2$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}$$ b) Tableau de signe du trinôme $2x^2 + 3x - 2$ : Le coefficient devant $x^2$ est positif, donc le parabole est tournée vers le haut. - Pour $x < -2$, $2x^2 + 3x - 2 > 0$. - Entre $-2$ et $\frac{1}{2}$, $2x^2 + 3x - 2 < 0$. - Pour $x > \frac{1}{2}$, $2x^2 + 3x - 2 > 0$. c) Solutions de l'inéquation $2x^2 + 3x - 2 < 0$ : $$x \in (-2, \frac{1}{2})$$ 4. Résoudre le système (S₁) : $$\begin{cases} 3x + 3y = 1 \\ x - 4y = 7 \end{cases}$$ Calcul des déterminants : $$D = \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = 3 \times (-4) - 3 \times 1 = -12 - 3 = -15$$ $$D_x = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & -4 \end{vmatrix} = 1 \times (-4) - 3 \times 7 = -4 - 21 = -25$$ $$D_y = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = 3 \times 7 - 1 \times 1 = 21 - 1 = 20$$ Solutions : $$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-25}{-15} = \frac{5}{3}$$ $$y = \frac{D_y}{D} = \frac{20}{-15} = -\frac{4}{3}$$ Solution du système : $\left( \frac{5}{3}, -\frac{4}{3} \right)$.