1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $|x - 2| - |x| = 6$. **Étapes :** 1. Rappel : La valeur absolue $|a|$ est définie par $|a| = a$ si $a \geq 0$, sinon $|a| = -a$. 2. Étudier les cas selon les signes de $x$ et $x-2$ : - Cas 1 : $x \geq 2$ alors $|x-2| = x-2$ et $|x| = x$. L'équation devient $(x-2) - x = 6 \Rightarrow -2 = 6$, impossible. - Cas 2 : $0 \leq x < 2$ alors $|x-2| = 2 - x$ et $|x| = x$. L'équation devient $(2 - x) - x = 6 \Rightarrow 2 - 2x = 6 \Rightarrow -2x = 4 \Rightarrow x = -2$, hors de l'intervalle. - Cas 3 : $x < 0$ alors $|x-2| = 2 - x$ et $|x| = -x$. L'équation devient $(2 - x) - (-x) = 6 \Rightarrow 2 - x + x = 6 \Rightarrow 2 = 6$, impossible. **Conclusion :** Pas de solution réelle. 2) Montrer que $\frac{x^2 + 6}{3x^2 + 4} \neq \frac{y^2 + 6}{3y^2 + 4}$ en général. **Étapes :** 1. Posons $f(t) = \frac{t^2 + 6}{3t^2 + 4}$. 2. Pour $x \neq y$, on veut montrer $f(x) \neq f(y)$ en général. 3. Supposons $f(x) = f(y)$, alors $$\frac{x^2 + 6}{3x^2 + 4} = \frac{y^2 + 6}{3y^2 + 4}$$ 4. En croisant, on obtient $$(x^2 + 6)(3y^2 + 4) = (y^2 + 6)(3x^2 + 4)$$ 5. Développons et simplifions, on trouve que cette égalité n'est pas vraie pour tous $x \neq y$. **Conclusion :** En général, $f(x) \neq f(y)$. 3) Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, a + 1 \neq \frac{7}{9^2}$. **Étapes :** 1. $9^2 = 81$, donc $\frac{7}{9^2} = \frac{7}{81}$. 2. La proposition affirme que $a + 1 \neq \frac{7}{81}$ pour tout $x$. 3. Sans contexte sur $a$, on ne peut pas conclure. **Conclusion :** Il manque des informations pour démontrer cette assertion. 4) Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$. **Étapes :** 1. C'est la formule de la somme des $n$ premiers entiers naturels. 2. Preuve par récurrence : - Initialisation : pour $n=1$, $1 = \frac{1 \times 2}{2} = 1$ vraie. - Hypothèse : supposons vraie pour $n=k$. - Montrer pour $n=k+1$ : $$1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$ 3. Conclusion : la formule est vraie pour tout $n$. 5) Donner la valeur de vérité de la proposition et sa négation. **Étapes :** 1. Sans proposition précise, on ne peut pas déterminer la valeur de vérité. 2. La négation d'une proposition $P$ est $\neg P$. 6) "est un nombre premier". Ceux il existe $x$ tel que : $x^2 - x = 0$. **Étapes :** 1. Résoudre $x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$. 2. Solutions : $x=0$ ou $x=1$. 3. Cette équation n'est pas liée directement à la primalité. 7) Montrer que $n^3 - 1$ où $m \in \Theta$ ... **Étapes :** 1. L'énoncé est incomplet, impossible de répondre. EXERCICE 2 Soient les fonctions $f(x) = \int (x^2 + 4)$ et $g(x) = 4x^3$. 1) Déterminer $D_f$ et $D_g$ domaines de définition. **Étapes :** 1. $f$ est une primitive de $x^2 + 4$, définie sur $\mathbb{R}$. 2. $g(x) = 4x^3$ est un polynôme défini sur $\mathbb{R}$. Donc $D_f = D_g = \mathbb{R}$. 2) Montrer que $f$ est majorée par 5 et minorée par 1, et que $g$ n'est pas majorée. **Étapes :** 1. $f(x) = \int (x^2 + 4) dx = \frac{x^3}{3} + 4x + C$. 2. Pour $f$ être majorée par 5 et minorée par 1, il faut que $f(x) \in [1,5]$. 3. Comme $\frac{x^3}{3}$ croît sans borne, $f$ n'est pas bornée. 4. $g(x) = 4x^3$ croît sans borne, donc non majorée. 3) Presser le tableau de $g$. **Étapes :** 1. $g'(x) = 12x^2 \geq 0$ pour tout $x$, donc $g$ est croissante. 4) Tracer la courbe de $g$. 5) Calculer $f \circ g (x)$ et $g \circ f (x)$. **Étapes :** 1. $f(g(x)) = f(4x^3) = \int ( (4x^3)^2 + 4 ) dx = \int (16x^6 + 4) dx = \frac{16}{7} x^7 + 4x + C$. 2. $g(f(x)) = 4 (f(x))^3 = 4 \left( \frac{x^3}{3} + 4x + C \right)^3$. **Réponses finales :** 1) Pas de solution réelle. 2) $\frac{x^2 + 6}{3x^2 + 4} \neq \frac{y^2 + 6}{3y^2 + 4}$ en général. 3) Information insuffisante. 4) $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$. 5) Information insuffisante. 6) $x=0$ ou $x=1$. 7) Information insuffisante. EX2 : $D_f = D_g = \mathbb{R}$, $f$ et $g$ non bornées, $g$ croissante, compositions calculées.