1. **Résoudre l'équation $x^2 - x - 1 = 0$** Utilisons la formule quadratique $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ avec $a=1$, $b=-1$, $c=-1$. Calcul du discriminant : $$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 1 + 4 = 5$$ Les solutions sont donc : $$x_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$ 2. **Déterminer le tableau de signe de $h(x) = -9x^2 + 3x - \frac{1}{4}$** Calculons le discriminant de $h$ : $$\Delta = 3^2 - 4 \times (-9) \times \left(-\frac{1}{4}\right) = 9 - 9 = 0$$ Le discriminant est nul, donc $h$ admet une racine double : $$x_0 = \frac{-3}{2 \times (-9)} = \frac{1}{6}$$ Puisque le coefficient dominant est $-9 < 0$, la parabole est tournée vers le bas. Le signe de $h(x)$ est donc : - $h(x) > 0$ uniquement en $x = \frac{1}{6}$ - $h(x) < 0$ pour tout $x \neq \frac{1}{6}$ 3. **Déterminer la forme la plus appropriée des fonctions $f$ et $g$ à partir du graphique** - $f$ est une parabole (fonction polynomiale du second degré) car elle a une forme en "U". - $g$ est une fonction cubique (polynôme de degré 3) car elle présente un maximum local et un minimum local. Calculons $f(0)$ et $g(0)$ pour déterminer les constantes : - $f(0)$ est l'ordonnée à l'origine de la parabole, qui est négative (environ $-1$). - $g(0)$ est proche de $0$. Ainsi, $f(x) = a x^2 + b x + c$ avec $c \approx -1$. $g(x)$ est de la forme $d x^3 + e x^2 + f x + g$ avec $g \approx 0$. **Réponses finales :** 1) Solutions de $x^2 - x - 1 = 0$ : $$x_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$ 2) Tableau de signe de $h(x)$ : - $h(x) < 0$ pour $x \neq \frac{1}{6}$ - $h\left(\frac{1}{6}\right) = 0$ 3) Formes des fonctions : - $f$ est un polynôme du second degré (parabole) avec $f(0) \approx -1$ - $g$ est un polynôme du troisième degré (cubique) avec $g(0) \approx 0$