1. Résoudre dans IR les expressions suivantes : **a) |3x-1| = |x+6|** 1. Énoncé : Trouver $x$ tel que $|3x-1| = |x+6|$. 2. Rappel : $|a| = |b|$ implique $a = b$ ou $a = -b$. 3. Cas 1 : $3x - 1 = x + 6$ $$3x - x = 6 + 1$$ $$2x = 7$$ $$x = \frac{7}{2}$$ 4. Cas 2 : $3x - 1 = -(x + 6)$ $$3x - 1 = -x - 6$$ $$3x + x = -6 + 1$$ $$4x = -5$$ $$x = -\frac{5}{4}$$ 5. Solutions : $x = \frac{7}{2}$ ou $x = -\frac{5}{4}$. **b) 3(2x+1) - x(2x+1) > 0** 1. Énoncé : Résoudre $3(2x+1) - x(2x+1) > 0$. 2. Développer : $$6x + 3 - 2x^2 - x > 0$$ $$-2x^2 + 5x + 3 > 0$$ 3. Multiplier par $-1$ (inverser l'inégalité) : $$2x^2 - 5x - 3 < 0$$ 4. Trouver les racines de $2x^2 - 5x - 3 = 0$ : $$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 25 + 24 = 49$$ $$x = \frac{5 \pm 7}{4}$$ $$x_1 = 3, x_2 = -\frac{1}{2}$$ 5. Parabole positive devant, donc $2x^2 - 5x - 3 < 0$ entre les racines : $$-\frac{1}{2} < x < 3$$ II. Résoudre dans IR : **a) $4^x = \sqrt{2}^7$** 1. Énoncé : Trouver $x$ tel que $4^x = (\sqrt{2})^7$. 2. Réécrire bases : $$4 = 2^2, \quad \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$$ 3. Donc : $$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$$ $$(\sqrt{2})^7 = (2^{\frac{1}{2}})^7 = 2^{\frac{7}{2}}$$ 4. Égaliser exposants : $$2x = \frac{7}{2}$$ $$x = \frac{7}{4}$$ **b) $5^x = 3^y$** 1. Énoncé : Résoudre $5^x = 3^y$ en fonction de $x$ et $y$ réels. 2. Prendre le logarithme (naturel ou base 10) des deux côtés : $$x \ln 5 = y \ln 3$$ 3. Exprimer $y$ en fonction de $x$ : $$y = \frac{\ln 5}{\ln 3} x$$ III. Développer les expressions suivantes : **a) $\sum_{i=-2}^4 4(x_i - 3)^4$** 1. Énoncé : Développer la somme de $4(x_i - 3)^4$ pour $i$ de $-2$ à $4$. 2. Cette expression est une somme de termes identiques en forme, mais dépendant de $x_i$. 3. Le développement complet dépend des valeurs de $x_i$, donc on laisse sous forme de somme : $$\sum_{i=-2}^4 4(x_i - 3)^4$$ **b) $\sum_{i=1}^3 \sum_{j=-3}^6 (12x_i - \sqrt{j}i)^y$** 1. Énoncé : Développer la double somme. 2. Cette expression dépend des variables $x_i$, $j$, $i$, et $y$. 3. Sans valeurs numériques, on laisse sous forme de double somme : $$\sum_{i=1}^3 \sum_{j=-3}^6 (12x_i - \sqrt{j}i)^y$$