1. Il problema è risolvere l'equazione fratta: $$\frac{x - 1}{x} = \frac{1}{x+1} + \frac{2 + x}{x^2 + x}$$ 2. Osserviamo che il denominatore $x^2 + x$ può essere fattorizzato come $x(x+1)$. 3. Per risolvere l'equazione, portiamo tutti i termini al primo membro e cerchiamo un denominatore comune per eliminare le frazioni. 4. Il denominatore comune è $x(x+1)$. 5. Moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per $x(x+1)$ per eliminare i denominatori: $$x(x+1) \cdot \frac{x - 1}{x} = x(x+1) \cdot \frac{1}{x+1} + x(x+1) \cdot \frac{2 + x}{x(x+1)}$$ 6. Semplifichiamo ogni termine: $$\cancel{x} (x+1) \cdot (x - 1) = x \cancel{(x+1)} \cdot 1 + \cancel{x} \cancel{(x+1)} \cdot (2 + x)$$ Quindi: $$(x+1)(x - 1) = x + (2 + x)$$ 7. Espandiamo il prodotto a sinistra: $$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$$ 8. L'equazione diventa: $$x^2 - 1 = x + 2 + x$$ 9. Sommiamo i termini a destra: $$x^2 - 1 = 2x + 2$$ 10. Portiamo tutti i termini a sinistra: $$x^2 - 1 - 2x - 2 = 0$$ $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ 11. Risolviamo l'equazione quadratica usando la formula: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ con $a=1$, $b=-2$, $c=-3$. 12. Calcoliamo il discriminante: $$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ 13. Calcoliamo le soluzioni: $$x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ 14. Quindi: $$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$$ 15. Verifichiamo che le soluzioni non annullino i denominatori originali $x$ e $x+1$: - Per $x=3$, $x \neq 0$ e $x+1=4 \neq 0$, quindi accettabile. - Per $x=-1$, $x+1=0$, quindi $x=-1$ non è accettabile perché annulla un denominatore. 16. La soluzione finale è: $$\boxed{x=3}$$