1. Il problema richiede di risolvere l'equazione quadratica $$x^2 - 4x + 2p^2 = 0$$ dove $p$ è una costante. 2. La formula generale per risolvere un'equazione quadratica $$ax^2 + bx + c = 0$$ è: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ 3. Nel nostro caso, $a=1$, $b=-4$, $c=2p^2$. 4. Calcoliamo il discriminante: $$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2p^2 = 16 - 8p^2$$ 5. Applichiamo la formula: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{16 - 8p^2}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8p^2}}{2}$$ 6. Semplifichiamo dividendo numeratore e denominatore per 2: $$x = \frac{\cancel{4} \pm \sqrt{16 - 8p^2}}{\cancel{2} \cdot 1} = 2 \pm \frac{\sqrt{16 - 8p^2}}{2}$$ 7. Quindi le soluzioni sono: $$x_1 = 2 + \frac{\sqrt{16 - 8p^2}}{2}$$ $$x_2 = 2 - \frac{\sqrt{16 - 8p^2}}{2}$$ 8. Nota importante: le soluzioni sono reali se e solo se il discriminante è non negativo, cioè: $$16 - 8p^2 \geq 0 \Rightarrow p^2 \leq 2 \Rightarrow |p| \leq \sqrt{2}$$ Se questa condizione non è soddisfatta, le soluzioni sono complesse. Risposta finale: $$x = 2 \pm \frac{\sqrt{16 - 8p^2}}{2}$$