Question: Fai con tutti i passaggi dei numeri $54$, $56$, $58$
1. Problema 54: Risolvere $$\frac{1}{x^{2} - 2x + 1} + \frac{2}{x^{2} - 3x + 2} = - \frac{2}{2 - x}$$
2. Problema 56: Risolvere $$\frac{2x^{2}}{2x - 1} = \frac{1}{4x - 2}$$
3. Problema 58: Risolvere $$\frac{x^{3}}{x^{3} - 1} - \frac{1}{2x - 2} = 1$$
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### Problema 54
1. Notiamo che:
$$x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2}$$
$$x^{2} - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$$
$$2 - x = -(x - 2)$$
2. Riscriviamo l'equazione:
$$\frac{1}{(x - 1)^{2}} + \frac{2}{(x - 1)(x - 2)} = - \frac{2}{-(x - 2)} = \frac{2}{x - 2}$$
3. Troviamo il minimo comune denominatore (mcd):
$$(x - 1)^{2}(x - 2)$$
4. Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcd:
$$\cancel{(x - 1)^{2}(x - 2)} \cdot \left( \frac{1}{(x - 1)^{2}} + \frac{2}{(x - 1)(x - 2)} \right) = \cancel{(x - 1)^{2}(x - 2)} \cdot \frac{2}{x - 2}$$
5. Semplificando:
$$ (x - 2) + 2(x - 1) = 2(x - 1)^{2}$$
6. Espandiamo:
$$x - 2 + 2x - 2 = 2(x^{2} - 2x + 1)$$
$$3x - 4 = 2x^{2} - 4x + 2$$
7. Portiamo tutto a sinistra:
$$0 = 2x^{2} - 4x + 2 - 3x + 4$$
$$0 = 2x^{2} - 7x + 6$$
8. Risolviamo l'equazione quadratica:
$$\Delta = (-7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$$
$$x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 1}{4}$$
9. Soluzioni:
$$x_{1} = \frac{7 + 1}{4} = 2$$
$$x_{2} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$
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### Problema 56
1. Equazione:
$$\frac{2x^{2}}{2x - 1} = \frac{1}{4x - 2}$$
2. Notiamo che:
$$4x - 2 = 2(2x - 1)$$
3. Moltiplichiamo entrambi i membri per il denominatore comune $2(2x - 1)$:
$$2(2x - 1) \cdot \frac{2x^{2}}{2x - 1} = 2(2x - 1) \cdot \frac{1}{2(2x - 1)}$$
4. Semplificando:
$$2 \cdot 2x^{2} = 1$$
$$4x^{2} = 1$$
5. Risolviamo:
$$x^{2} = \frac{1}{4}$$
$$x = \pm \frac{1}{2}$$
6. Verifichiamo le soluzioni nel denominatore per evitare divisioni per zero:
$$2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$$
$$4x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$$
7. Quindi $x = \frac{1}{2}$ non è ammesso perché annulla i denominatori.
8. Soluzione valida:
$$x = -\frac{1}{2}$$
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### Problema 58
1. Equazione:
$$\frac{x^{3}}{x^{3} - 1} - \frac{1}{2x - 2} = 1$$
2. Notiamo che:
$$x^{3} - 1 = (x - 1)(x^{2} + x + 1)$$
$$2x - 2 = 2(x - 1)$$
3. Moltiplichiamo entrambi i membri per il denominatore comune:
$$(x - 1)(x^{2} + x + 1) \cdot 2(x - 1) = 2(x - 1) (x - 1)(x^{2} + x + 1)$$
4. Moltiplichiamo entrambi i membri per $2(x - 1)(x^{2} + x + 1)$:
$$2(x - 1)(x^{2} + x + 1) \cdot \frac{x^{3}}{(x - 1)(x^{2} + x + 1)} - 2(x - 1)(x^{2} + x + 1) \cdot \frac{1}{2(x - 1)} = 2(x - 1)(x^{2} + x + 1) \cdot 1$$
5. Semplificando:
$$2x^{3} - (x^{2} + x + 1) = 2(x - 1)(x^{2} + x + 1)$$
6. Espandiamo il lato destro:
$$(x - 1)(x^{2} + x + 1) = x^{3} + x^{2} + x - x^{2} - x - 1 = x^{3} - 1$$
7. Quindi:
$$2x^{3} - x^{2} - x - 1 = 2(x^{3} - 1) = 2x^{3} - 2$$
8. Portiamo tutto a sinistra:
$$2x^{3} - x^{2} - x - 1 - 2x^{3} + 2 = 0$$
$$- x^{2} - x + 1 = 0$$
9. Moltiplichiamo per $-1$ per semplificare:
$$x^{2} + x - 1 = 0$$
10. Risolviamo l'equazione quadratica:
$$\Delta = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$$
$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$
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### Risultati finali:
- Problema 54: $$x = 2, \quad x = \frac{3}{2}$$
- Problema 56: $$x = -\frac{1}{2}$$
- Problema 58: $$x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \quad x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$$