Equazioni 54 56 58 88Cc5D

1. Problema 54: Risolvere l'equazione $$\frac{1}{x^2 - 2x + 1} + \frac{2}{x^2 - 3x + 2} = - \frac{2}{2 - x}$$ 2. Notiamo che $$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$$ e $$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$$. 3. Riscriviamo l'equazione con queste fattorizzazioni: $$\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{(x-1)(x-2)} = - \frac{2}{2 - x}$$ 4. Osserviamo che $$2 - x = -(x-2)$$, quindi: $$- \frac{2}{2 - x} = \frac{2}{x-2}$$ 5. L'equazione diventa: $$\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{(x-1)(x-2)} = \frac{2}{x-2}$$ 6. Moltiplichiamo entrambi i membri per il minimo comune denominatore $$(x-1)^2 (x-2)$$ per eliminare i denominatori: $$\cancel{(x-1)^2 (x-2)} \left( \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{(x-1)(x-2)} \right) = \cancel{(x-1)^2 (x-2)} \cdot \frac{2}{x-2}$$ 7. Semplificando: $$ (x-2) + 2(x-1) = 2(x-1)^2$$ 8. Espandiamo i termini: $$x - 2 + 2x - 2 = 2(x^2 - 2x + 1)$$ $$3x - 4 = 2x^2 - 4x + 2$$ 9. Portiamo tutto a sinistra: $$0 = 2x^2 - 4x + 2 - 3x + 4$$ $$0 = 2x^2 - 7x + 6$$ 10. Risolviamo l'equazione quadratica: $$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4} = \frac{7 \pm 1}{4}$$ 11. Soluzioni: $$x = \frac{7 + 1}{4} = 2$$ $$x = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$ 12. Verifichiamo che nessuna soluzione annulli i denominatori originali (cioè $x \neq 1, 2$). $x=2$ annulla un denominatore, quindi è esclusa. 13. Soluzione valida: $$x = \frac{3}{2}$$ --- 14. Problema 56: Risolvere l'equazione $$\frac{2x^2}{2x - 1} = \frac{1}{4x - 2}$$ 15. Notiamo che $$4x - 2 = 2(2x - 1)$$. 16. Riscriviamo l'equazione: $$\frac{2x^2}{2x - 1} = \frac{1}{2(2x - 1)}$$ 17. Moltiplichiamo entrambi i membri per $$2(2x - 1)$$ per eliminare i denominatori: $$2(2x - 1) \cdot \frac{2x^2}{2x - 1} = 2(2x - 1) \cdot \frac{1}{2(2x - 1)}$$ 18. Semplificando: $$2 \cdot 2x^2 = 1$$ $$4x^2 = 1$$ 19. Risolviamo: $$x^2 = \frac{1}{4}$$ $$x = \pm \frac{1}{2}$$ 20. Verifichiamo i valori esclusi: denominatori non devono essere zero, quindi $$2x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}$$. 21. Quindi la soluzione valida è: $$x = -\frac{1}{2}$$ --- 22. Problema 58: Risolvere l'equazione $$\frac{x^3}{x^3 - 1} - \frac{1}{2x - 2} = 1$$ 23. Notiamo che $$2x - 2 = 2(x - 1)$$ e $$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$$. 24. Riscriviamo l'equazione: $$\frac{x^3}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{1}{2(x - 1)} = 1$$ 25. Moltiplichiamo entrambi i membri per $$2(x - 1)(x^2 + x + 1)$$ per eliminare i denominatori: $$2(x - 1)(x^2 + x + 1) \cdot \frac{x^3}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} - 2(x - 1)(x^2 + x + 1) \cdot \frac{1}{2(x - 1)} = 2(x - 1)(x^2 + x + 1) \cdot 1$$ 26. Semplificando: $$2x^3 - (x^2 + x + 1) = 2(x - 1)(x^2 + x + 1)$$ 27. Espandiamo il lato destro: $$(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1 = x^3 - 1$$ 28. Quindi: $$2x^3 - (x^2 + x + 1) = 2(x^3 - 1)$$ 29. Espandiamo il lato sinistro: $$2x^3 - x^2 - x - 1 = 2x^3 - 2$$ 30. Portiamo tutto a sinistra: $$2x^3 - x^2 - x - 1 - 2x^3 + 2 = 0$$ 31. Semplificando: $$- x^2 - x + 1 = 0$$ 32. Moltiplichiamo per $$-1$$: $$x^2 + x - 1 = 0$$ 33. Risolviamo l'equazione quadratica: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ 34. Soluzioni: $$x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \quad x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$$ 35. Verifichiamo che nessuna soluzione annulli i denominatori originali (cioè $x \neq 1$). Entrambe le soluzioni sono diverse da 1. 36. Soluzioni finali: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$