1. Risolviamo la disequazione $x\sqrt{2} > x\sqrt{8} + 4$.\n\nUsiamo la proprietà distributiva e semplifichiamo:\n$$x\sqrt{2} > x\cdot 2\sqrt{2} + 4$$\n$$x\sqrt{2} - 2x\sqrt{2} > 4$$\n$$x\cancel{\sqrt{2}} - 2x\cancel{\sqrt{2}} > 4$$\n$$-x\sqrt{2} > 4$$\nDividiamo entrambi i membri per $-\sqrt{2}$ (ricordando di invertire il segno della disequazione):\n$$x < \frac{4}{-\sqrt{2}}$$\nSemplificando:\n$$x < -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$$\n\n2. Risolviamo la disequazione $$\frac{x}{1 + \sqrt{2}} < \frac{1}{1 - \sqrt{2}}$$\nRazionalizziamo i denominatori:\n$$\frac{x}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} < \frac{1}{1 - \sqrt{2}} \cdot \frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$$\n$$\frac{x(1 - \sqrt{2})}{(1)^2 - (\sqrt{2})^2} < \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - 2}$$\n$$\frac{x(1 - \sqrt{2})}{1 - 2} < \frac{1 + \sqrt{2}}{-1}$$\n$$\frac{x(1 - \sqrt{2})}{-1} < -1 - \sqrt{2}$$\nMoltiplichiamo entrambi i membri per $-1$ invertendo il segno:\n$$x(1 - \sqrt{2}) > 1 + \sqrt{2}$$\nDividiamo per $1 - \sqrt{2}$ (negativo, quindi invertiamo il segno):\n$$x < \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$$\nRazionalizziamo il denominatore:\n$$x < \frac{(1 + \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}{(1)^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{(1 + \sqrt{2})^2}{1 - 2} = \frac{1 + 2\sqrt{2} + 2}{-1} = -3 - 2\sqrt{2}$$\n\n3. Risolviamo l'equazione $$\sqrt{x - 1} = 2 - \sqrt{3}$$\nEleviamo al quadrato entrambi i membri:\n$$x - 1 = (2 - \sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$$\n$$x = 7 - 4\sqrt{3} + 1 = 8 - 4\sqrt{3}$$\nVerifichiamo che $x - 1 \geq 0$ per la radice quadrata, che è vero perché $7 - 4\sqrt{3} > 0$.\n\n4. Risolviamo l'equazione $$(x + \frac{1}{3})^2 = \frac{2x}{3} + 1$$\nEspandiamo il quadrato:\n$$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{2x}{3} + 1$$\n$$x^2 + \frac{2x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{2x}{3} + 1$$\nSottraiamo $\frac{2x}{3}$ da entrambi i membri:\n$$x^2 + \frac{2x}{3} - \frac{2x}{3} + \frac{1}{9} = 1$$\n$$x^2 + \frac{1}{9} = 1$$\nSottraiamo $\frac{1}{9}$ da entrambi i membri:\n$$x^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$\nPrendiamo la radice quadrata di entrambi i membri:\n$$x = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$$\n\n5. Risolviamo l'equazione $$(2x^2 - \sqrt{5})(2x^2 + \sqrt{5}) = -8$$\nUsiamo la differenza di quadrati:\n$$ (2x^2)^2 - (\sqrt{5})^2 = -8$$\n$$4x^4 - 5 = -8$$\nAggiungiamo 5 a entrambi i membri:\n$$4x^4 = -8 + 5 = -3$$\nDividiamo per 4:\n$$x^4 = -\frac{3}{4}$$\nNon esistono soluzioni reali perché $x^4$ è sempre non negativo.\n\nRisultati finali:\n1. $x < -2\sqrt{2}$\n2. $x < -3 - 2\sqrt{2}$\n3. $x = 8 - 4\sqrt{3}$\n4. $x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$\n5. Nessuna soluzione reale.