1. Problema: Risolvi le equazioni di secondo grado frazionarie da 263 a 270. 2. Formula e regole: Per risolvere equazioni frazionarie, si trova il minimo comune denominatore (MCD) per eliminare i denominatori, si moltiplica entrambi i membri per il MCD, si risolve l'equazione risultante e si verifica che le soluzioni non annullino i denominatori originali (condizioni di esistenza). --- **263.** $$\frac{6}{x^2-1} - \frac{2}{x-1} = \frac{x}{x+1} - \frac{2}{x+1}$$ - Denominatori: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$, $x-1$, $x+1$ - MCD: $(x-1)(x+1)$ Moltiplichiamo entrambi i membri per $(x-1)(x+1)$: $$6 - 2(x+1) = x(x-1) - 2(x-1)$$ Sviluppiamo: $$6 - 2x - 2 = x^2 - x - 2x + 2$$ $$4 - 2x = x^2 - 3x + 2$$ Portiamo tutto a sinistra: $$0 = x^2 - 3x + 2 - 4 + 2x$$ $$0 = x^2 - x - 2$$ Fattorizziamo: $$0 = (x-2)(x+1)$$ Soluzioni: $$x=2, x=-1$$ Condizioni di esistenza: $x \neq \pm 1$ (denominatori non nulli) Eliminiamo $x=-1$ perché annulla denominatori. **Risultato:** $x=2$ --- **264.** $$\frac{1}{x-1} = \frac{2}{x^2 - 3x + 2} - 1$$ Fattorizziamo il denominatore: $$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$$ MCD: $(x-1)(x-2)$ Moltiplichiamo entrambi i membri per $(x-1)(x-2)$: $$ (x-2) = 2 - (x-1)(x-2)$$ Sviluppiamo: $$x - 2 = 2 - (x^2 - 3x + 2)$$ $$x - 2 = 2 - x^2 + 3x - 2$$ $$x - 2 = -x^2 + 3x$$ Portiamo tutto a sinistra: $$x - 2 + x^2 - 3x = 0$$ $$x^2 - 2x - 2 = 0$$ Calcoliamo il delta: $$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$$ Soluzioni: $$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$$ Condizioni di esistenza: $x \neq 1, 2$ Entrambe le soluzioni sono valide. **Risultato:** $x = 1 + \sqrt{3}, x = 1 - \sqrt{3}$ --- **265.** $$\frac{x^2}{x^2 - 1} + \frac{1}{x+1} = \frac{1}{x^2 - 1}$$ Fattorizziamo: $$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$$ MCD: $(x-1)(x+1)$ Moltiplichiamo entrambi i membri per $(x-1)(x+1)$: $$x^2 + (x-1) = 1$$ Sviluppiamo: $$x^2 + x - 1 = 1$$ $$x^2 + x - 2 = 0$$ Fattorizziamo: $$ (x+2)(x-1) = 0$$ Soluzioni: $$x = -2, x = 1$$ Condizioni di esistenza: $x \neq \pm 1$ Eliminiamo $x=1$. **Risultato:** $x = -2$ --- **266.** $$\frac{8}{x+1} - \frac{3}{x} = \frac{6}{x^2 - x}$$ Fattorizziamo: $$x^2 - x = x(x-1)$$ MCD: $x(x+1)(x-1)$ Moltiplichiamo entrambi i membri per $x(x+1)(x-1)$: $$8x(x-1) - 3(x+1)(x-1) = 6(x+1)$$ Sviluppiamo: $$8x^2 - 8x - 3(x^2 - 1) = 6x + 6$$ $$8x^2 - 8x - 3x^2 + 3 = 6x + 6$$ $$5x^2 - 8x + 3 = 6x + 6$$ Portiamo tutto a sinistra: $$5x^2 - 8x + 3 - 6x - 6 = 0$$ $$5x^2 - 14x - 3 = 0$$ Calcoliamo il delta: $$\Delta = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256$$ Soluzioni: $$x = \frac{14 \pm 16}{10}$$ $$x_1 = \frac{14 + 16}{10} = 3$$ $$x_2 = \frac{14 - 16}{10} = -\frac{1}{5}$$ Condizioni di esistenza: $x \neq 0, -1, 1$ Entrambe le soluzioni sono valide. **Risultato:** $x = 3, x = -\frac{1}{5}$ --- **267.** $$\frac{x}{x^2 - 2x} - \frac{5}{3x^2 - 12} = \frac{2}{x}$$ Fattorizziamo: $$x^2 - 2x = x(x-2)$$ $$3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)$$ MCD: $3x(x-2)(x+2)$ Moltiplichiamo entrambi i membri per $3x(x-2)(x+2)$: $$3x(x-2)(x+2) \cdot \frac{x}{x(x-2)} - 3x(x-2)(x+2) \cdot \frac{5}{3(x-2)(x+2)} = 3x(x-2)(x+2) \cdot \frac{2}{x}$$ Semplifichiamo: $$3x(x+2) - 5x = 3(x-2)(x+2) \cdot 2$$ Sviluppiamo: $$3x^2 + 6x - 5x = 6(x^2 - 4)$$ $$3x^2 + x = 6x^2 - 24$$ Portiamo tutto a sinistra: $$3x^2 + x - 6x^2 + 24 = 0$$ $$-3x^2 + x + 24 = 0$$ Moltiplichiamo per $-1$: $$3x^2 - x - 24 = 0$$ Calcoliamo il delta: $$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-24) = 1 + 288 = 289$$ $$\sqrt{289} = 17$$ Soluzioni: $$x = \frac{1 \pm 17}{6}$$ $$x_1 = \frac{18}{6} = 3$$ $$x_2 = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$$ Condizioni di esistenza: $x \neq 0, 2, -2$ Entrambe le soluzioni sono valide. **Risultato:** $x = 3, x = -\frac{8}{3}$ --- **268.** $$\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x} = -0,25$$ Riscriviamo $-0,25$ come $-\frac{1}{4}$. MCD: $x(x+2)$ Moltiplichiamo entrambi i membri per $x(x+2)$: $$x - (x+2) = -\frac{1}{4} x (x+2)$$ Sviluppiamo: $$x - x - 2 = -\frac{1}{4} (x^2 + 2x)$$ $$-2 = -\frac{1}{4} x^2 - \frac{1}{2} x$$ Moltiplichiamo entrambi i membri per $-4$ per eliminare frazioni: $$8 = x^2 + 2x$$ Portiamo tutto a sinistra: $$x^2 + 2x - 8 = 0$$ Fattorizziamo: $$ (x+4)(x-2) = 0$$ Soluzioni: $$x = -4, x = 2$$ Condizioni di esistenza: $x \neq 0, -2$ Entrambe le soluzioni sono valide. **Risultato:** $x = -4, x = 2$ --- **269.** $$\frac{x+1}{x^2 - x} + \frac{x}{1 - x^2} = \frac{1}{x}$$ Fattorizziamo: $$x^2 - x = x(x-1)$$ $$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) = -(x^2 - 1) = -(x-1)(x+1)$$ Riscriviamo: $$\frac{x+1}{x(x-1)} + \frac{x}{-(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x}$$ $$\frac{x+1}{x(x-1)} - \frac{x}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x}$$ MCD: $x(x-1)(x+1)$ Moltiplichiamo entrambi i membri per $x(x-1)(x+1)$: $$(x+1)^2 - x \cdot x = (x-1)(x+1)$$ Sviluppiamo: $$x^2 + 2x + 1 - x^2 = x^2 - 1$$ $$2x + 1 = x^2 - 1$$ Portiamo tutto a sinistra: $$0 = x^2 - 2x - 2$$ Calcoliamo il delta: $$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$$ Soluzioni: $$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$$ Condizioni di esistenza: $x \neq 0, 1, -1$ Entrambe le soluzioni sono valide. **Risultato:** $x = 1 + \sqrt{3}, x = 1 - \sqrt{3}$ --- **270.** $$\frac{x}{x^2 - 4} + \frac{1}{x^2 - 2x} = \frac{11}{6x^2 + 12x}$$ Fattorizziamo: $$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$$ $$x^2 - 2x = x(x-2)$$ $$6x^2 + 12x = 6x(x+2)$$ MCD: $6x(x-2)(x+2)$ Moltiplichiamo entrambi i membri per $6x(x-2)(x+2)$: $$6x(x-2)(x+2) \cdot \frac{x}{(x-2)(x+2)} + 6x(x-2)(x+2) \cdot \frac{1}{x(x-2)} = 6x(x-2)(x+2) \cdot \frac{11}{6x(x+2)}$$ Semplifichiamo: $$6x^2 + 6(x+2) = 11(x-2)$$ Sviluppiamo: $$6x^2 + 6x + 12 = 11x - 22$$ Portiamo tutto a sinistra: $$6x^2 + 6x + 12 - 11x + 22 = 0$$ $$6x^2 - 5x + 34 = 0$$ Calcoliamo il delta: $$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 34 = 25 - 816 = -791 < 0$$ Non ci sono soluzioni reali. **Risultato:** Nessuna soluzione reale. --- **Risposte finali:** 263: $x=2$ 264: $x=1+\sqrt{3}, x=1-\sqrt{3}$ 265: $x=-2$ 266: $x=3, x=-\frac{1}{5}$ 267: $x=3, x=-\frac{8}{3}$ 268: $x=-4, x=2$ 269: $x=1+\sqrt{3}, x=1-\sqrt{3}$ 270: Nessuna soluzione reale