1. **Problema 487:** Risolvi l'equazione $x\sqrt{5} = x - 2\sqrt{5}$. 2. Spostiamo tutti i termini a sinistra per raccogliere $x$: $$x\sqrt{5} - x = -2\sqrt{5}$$ 3. Fattorizziamo $x$: $$x(\sqrt{5} - 1) = -2\sqrt{5}$$ 4. Dividiamo entrambi i membri per $\sqrt{5} - 1$: $$x = \frac{-2\sqrt{5}}{\cancel{\sqrt{5} - 1}} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{-2\sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2}$$ 5. Calcoliamo il denominatore: $$(\sqrt{5})^2 - 1 = 5 - 1 = 4$$ 6. Calcoliamo il numeratore: $$-2\sqrt{5}(\sqrt{5} + 1) = -2(5 + \sqrt{5}) = -10 - 2\sqrt{5}$$ 7. Quindi: $$x = \frac{-10 - 2\sqrt{5}}{4} = -\frac{10}{4} - \frac{2\sqrt{5}}{4} = -\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$ --- 1. **Problema 488:** Risolvi l'equazione $x\sqrt{8} - x\sqrt{18} = 6$. 2. Semplifichiamo le radici: $$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}, \quad \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ 3. Sostituiamo: $$x(2\sqrt{2}) - x(3\sqrt{2}) = 6$$ 4. Fattorizziamo $x$: $$x(2\sqrt{2} - 3\sqrt{2}) = 6$$ 5. Calcoliamo la differenza: $$2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = -\sqrt{2}$$ 6. Quindi: $$x(-\sqrt{2}) = 6$$ 7. Dividiamo entrambi i membri per $-\sqrt{2}$: $$x = \frac{6}{-\sqrt{2}} = -\frac{6}{\sqrt{2}} = -\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\frac{6\sqrt{2}}{2} = -3\sqrt{2}$$ --- 1. **Problema 489:** Risolvi l'equazione $x\sqrt{20} - 5 = x\sqrt{5} + 10$. 2. Semplifichiamo $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$: $$x(2\sqrt{5}) - 5 = x\sqrt{5} + 10$$ 3. Portiamo tutti i termini con $x$ a sinistra e i numeri a destra: $$2x\sqrt{5} - x\sqrt{5} = 10 + 5$$ 4. Fattorizziamo $x$ a sinistra: $$x(2\sqrt{5} - \sqrt{5}) = 15$$ 5. Calcoliamo la differenza: $$2\sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}$$ 6. Quindi: $$x\sqrt{5} = 15$$ 7. Dividiamo entrambi i membri per $\sqrt{5}$: $$x = \frac{15}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5}$$ --- 1. **Problema 490:** Risolvi l'equazione $(x - 2)^2 = x^2 + (\sqrt{3} - 1)^2$. 2. Espandiamo il primo quadrato: $$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$$ 3. Calcoliamo il secondo quadrato: $$(\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$$ 4. Sostituiamo nell'equazione: $$x^2 - 4x + 4 = x^2 + 4 - 2\sqrt{3}$$ 5. Sottraiamo $x^2$ e 4 da entrambi i membri: $$-4x = -2\sqrt{3}$$ 6. Dividiamo entrambi i membri per $-4$: $$x = \frac{-2\sqrt{3}}{-4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ --- **Risposte finali:** - Problema 487: $x = -\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$ - Problema 488: $x = -3\sqrt{2}$ - Problema 489: $x = 3\sqrt{5}$ - Problema 490: $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$