1. Problema 605: Equazione $x^2 + 2kx - (1+k^2) = 0$. a. Radici antireciproche: il prodotto delle radici $p = -1$. Formula prodotto radici: $p = \frac{c}{a} = \frac{-(1+k^2)}{1} = -(1+k^2)$. Impostiamo $-(1+k^2) = -1$. 2. Risolviamo: $-(1+k^2) = -1 \Rightarrow 1+k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = 0 \Rightarrow k=0$. Quindi $k=0$ per radici antireciproche. 3. Problema 606: Equazione $25x^2 - (5k + 1)x + \frac{k^2}{4} = 0$, $k \neq 0$. a. Radici concordi: discriminante $\Delta \geq 0$. Calcoliamo $\Delta = b^2 - 4ac = (-(5k+1))^2 - 4 \cdot 25 \cdot \frac{k^2}{4} = (5k+1)^2 - 25k^2$. Sviluppiamo: $(5k+1)^2 = 25k^2 + 10k + 1$. Quindi $\Delta = 25k^2 + 10k + 1 - 25k^2 = 10k + 1$. Per radici concordi: $10k + 1 \geq 0 \Rightarrow k \geq -\frac{1}{10}$. b. Radici reciproche: prodotto radici $p = \frac{c}{a} = \frac{\frac{k^2}{4}}{25} = \frac{k^2}{100} = 1$. Quindi $\frac{k^2}{100} = 1 \Rightarrow k^2 = 100 \Rightarrow k = \pm 10$. Ma $k \neq 0$, quindi $k=10$ o $k=-10$ (non accettabile per qualche motivo indicato). 4. Problema 607: Equazione $3x^2 - (2k-3)x - 2k = 0$. a. $x_1 = \frac{1}{x_2}$ implica $x_1 x_2 = 1$. Prodotto radici $p = \frac{c}{a} = \frac{-2k}{3} = 1$. Risolviamo: $-\frac{2k}{3} = 1 \Rightarrow -2k = 3 \Rightarrow k = -\frac{3}{2}$. b. $p = -\frac{2}{3}$. Impostiamo $-\frac{2k}{3} = -\frac{2}{3} \Rightarrow k = 1$. 5. Problema 608: Equazione $x^2 - 8x + 4m - 5 = 0$. Prodotto radici $p = \frac{c}{a} = 4m - 5$. a. $p = -5 \Rightarrow 4m - 5 = -5 \Rightarrow 4m = 0 \Rightarrow m=0$. b. $p > 1 \Rightarrow 4m - 5 > 1 \Rightarrow 4m > 6 \Rightarrow m > \frac{3}{2}$. c. Radici concordi: discriminante $\Delta \geq 0$. $\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4m - 5) = 64 - 4(4m - 5) = 64 - 16m + 20 = 84 - 16m$. $84 - 16m \geq 0 \Rightarrow 16m \leq 84 \Rightarrow m \leq \frac{21}{4}$. Quindi $\frac{5}{4} < m \leq \frac{21}{4}$ per radici concordi. 6. Problema 609: Equazione $2x^2 - 7x + 4k = 0$. a. Radici reciproche: $p = \frac{c}{a} = \frac{4k}{2} = 2k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{2}$. b. Radici concordi: discriminante $\Delta \geq 0$. $\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4k = 49 - 32k \geq 0 \Rightarrow 32k \leq 49 \Rightarrow k \leq \frac{49}{32}$. c. $p = -10 \Rightarrow 2k = -10 \Rightarrow k = -5$. 7. Problema 610: Equazione $9mx^2 - 6mx + m - 3 = 0$, $m \neq 0$. a. Radici discordi: discriminante $\Delta > 0$. $a = 9m$, $b = -6m$, $c = m - 3$. $\Delta = b^2 - 4ac = ( -6m )^2 - 4 \cdot 9m \cdot (m - 3) = 36m^2 - 36m^2 + 108m = 108m$. $\Delta > 0 \Rightarrow 108m > 0 \Rightarrow m > 0$. b. $x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m - 3}{9m} = -2$. Risolviamo: $\frac{m - 3}{9m} = -2 \Rightarrow m - 3 = -18m \Rightarrow 19m = 3 \Rightarrow m = \frac{3}{19}$. c. Una radice nulla: $x=0$ è radice se $c=0$. $m - 3 = 0 \Rightarrow m=3$. 8. Problema 611: Equazione $(k - 2)x^2 - 2kx + k - 3 = 0$, $k \neq 2$. a. Radici reciproche: $p = \frac{c}{a} = \frac{k - 3}{k - 2} = 1$. Risolviamo: $\frac{k - 3}{k - 2} = 1 \Rightarrow k - 3 = k - 2 \Rightarrow -3 = -2$ impossibile. Quindi non esiste $k$ reale. b. $p = -1 \Rightarrow \frac{k - 3}{k - 2} = -1$. Risolviamo: $k - 3 = - (k - 2) \Rightarrow k - 3 = -k + 2 \Rightarrow 2k = 5 \Rightarrow k = \frac{5}{2}$. c. $p > \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{k - 3}{k - 2} > \frac{1}{2}$. Risolviamo disuguaglianza con attenzione ai segni. 9. Problema 612: Equazione $kx^2 - 4kx + 4k - 1 = 0$, $k \neq 0$. a. Radici reciproche: $p = \frac{c}{a} = \frac{4k - 1}{k} = 1$. Risolviamo: $\frac{4k - 1}{k} = 1 \Rightarrow 4k - 1 = k \Rightarrow 3k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{3}$. b. $p = 9 \Rightarrow \frac{4k - 1}{k} = 9 \Rightarrow 4k - 1 = 9k \Rightarrow -1 = 5k \Rightarrow k = -\frac{1}{5}$ (non accettabile). c. Radici discordi: discriminante $\Delta > 0$. $\Delta = (-4k)^2 - 4 \cdot k \cdot (4k - 1) = 16k^2 - 4k(4k - 1) = 16k^2 - 16k^2 + 4k = 4k$. $4k > 0 \Rightarrow k > 0$.