1. Problema: Risolvere l'equazione $$491\ (3 - x)^2 = (9 - \sqrt{3})(9 + \sqrt{3}) + x^2$$. 2. Formula e regole: Usare la formula del prodotto notevole $$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$ e sviluppare i quadrati. 3. Calcolo: $$491\ (3 - x)^2 = (9)^2 - (\sqrt{3})^2 + x^2 = 81 - 3 + x^2 = 78 + x^2$$ 4. Sviluppo del quadrato: $$491\ (3 - x)^2 = 491\ (9 - 6x + x^2) = 4419 - 2946x + 491x^2$$ 5. Equazione: $$4419 - 2946x + 491x^2 = 78 + x^2$$ 6. Portare tutto a sinistra: $$491x^2 - x^2 - 2946x + 4419 - 78 = 0$$ $$490x^2 - 2946x + 4341 = 0$$ 7. Dividere per 7 per semplificare: $$\cancel{7}70x^2 - \cancel{7}421x + \cancel{7}620.14 = 0$$ $$70x^2 - 421x + 620.14 = 0$$ 8. Risolvere con formula quadratica: $$x = \frac{421 \pm \sqrt{(-421)^2 - 4 \cdot 70 \cdot 620.14}}{2 \cdot 70}$$ 9. Calcolo del discriminante: $$\Delta = 177241 - 173639.2 = 3601.8$$ 10. Soluzioni: $$x = \frac{421 \pm 60.01}{140}$$ $$x_1 = \frac{481.01}{140} = 3.436$$ $$x_2 = \frac{360.99}{140} = 2.578$$ --- 1. Problema: Risolvere l'equazione $$492\ x\sqrt{2} - \sqrt{8} = x\sqrt{3} - \sqrt{12}$$. 2. Semplificare radici: $$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}, \quad \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$ 3. Riscrivere: $$x\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = x\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$$ 4. Portare termini con $x$ da un lato e costanti dall'altro: $$x\sqrt{2} - x\sqrt{3} = -2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}$$ 5. Fattorizzare $x$: $$x(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = 2(\sqrt{2} - \sqrt{3})$$ 6. Dividere entrambi i membri per $\sqrt{2} - \sqrt{3}$: $$x = \frac{2(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$$ $$x = 2$$ --- 1. Problema: Risolvere $$493\ 2(x - \sqrt{2}) = -\sqrt{2}(x\sqrt{8} - \sqrt{18})$$. 2. Semplificare radici: $$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}, \quad \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ 3. Riscrivere: $$2(x - \sqrt{2}) = -\sqrt{2}(2x\sqrt{2} - 3\sqrt{2})$$ 4. Calcolare dentro parentesi: $$2x\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = \sqrt{2}(2x - 3)$$ 5. Quindi: $$2(x - \sqrt{2}) = -\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}(2x - 3) = -2(2x - 3)$$ 6. Sviluppare: $$2x - 2\cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = -4x + 6$$ $$2x - 4 = -4x + 6$$ 7. Portare tutto a sinistra: $$2x + 4x - 4 - 6 = 0$$ $$6x - 10 = 0$$ 8. Risolvere: $$6x = 10$$ $$x = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$ --- 1. Problema: Risolvere $$494\ \sqrt{2} (x - 1) - 2(x - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$$. 2. Sviluppare: $$\sqrt{2}x - \sqrt{2} - 2x + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$ 3. Raggruppare termini: $$(\sqrt{2}x - 2x) + (-\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$$ 4. Semplificare: $$x(\sqrt{2} - 2) + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$ 5. Portare $\sqrt{2}$ a destra: $$x(\sqrt{2} - 2) = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$$ 6. Dividere per $\sqrt{2} - 2$: $$x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 2}$$ 7. Razionalizzare: $$x = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 2)}{(\sqrt{2} - 2)(\sqrt{2} + 2)} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2 - 4} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{-2} = -1 - \sqrt{2}$$ --- 1. Problema: Risolvere $$495\ 4x - 2(x - \sqrt{5}) = 3x - 6\sqrt{5}$$. 2. Sviluppare: $$4x - 2x + 2\sqrt{5} = 3x - 6\sqrt{5}$$ 3. Semplificare: $$2x + 2\sqrt{5} = 3x - 6\sqrt{5}$$ 4. Portare termini con $x$ a sinistra e costanti a destra: $$2x - 3x = -6\sqrt{5} - 2\sqrt{5}$$ 5. Semplificare: $$-x = -8\sqrt{5}$$ 6. Moltiplicare entrambi i membri per $-1$: $$x = 8\sqrt{5}$$ --- 1. Problema: Risolvere $$496\ (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = (x - \sqrt{3})^2$$. 2. Usare prodotto notevole: $$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = x^2 - 3$$ 3. Sviluppare quadrato: $$(x - \sqrt{3})^2 = x^2 - 2x\sqrt{3} + 3$$ 4. Equazione: $$x^2 - 3 = x^2 - 2x\sqrt{3} + 3$$ 5. Portare tutto a sinistra: $$x^2 - 3 - x^2 + 2x\sqrt{3} - 3 = 0$$ 6. Semplificare: $$2x\sqrt{3} - 6 = 0$$ 7. Risolvere: $$2x\sqrt{3} = 6$$ $$x = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$$ 8. Razionalizzare: $$x = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$ --- 1. Problema: Risolvere $$497\ x(x - 2\sqrt{2}) = (x - \sqrt{2})(x + 2\sqrt{2})$$. 2. Sviluppare lato sinistro: $$x^2 - 2x\sqrt{2}$$ 3. Sviluppare lato destro con prodotto notevole: $$(x - \sqrt{2})(x + 2\sqrt{2}) = x^2 + 2x\sqrt{2} - x\sqrt{2} - 2\sqrt{4} = x^2 + x\sqrt{2} - 4$$ 4. Equazione: $$x^2 - 2x\sqrt{2} = x^2 + x\sqrt{2} - 4$$ 5. Portare tutto a sinistra: $$x^2 - 2x\sqrt{2} - x^2 - x\sqrt{2} + 4 = 0$$ 6. Semplificare: $$-3x\sqrt{2} + 4 = 0$$ 7. Risolvere: $$3x\sqrt{2} = 4$$ $$x = \frac{4}{3\sqrt{2}}$$ 8. Razionalizzare: $$x = \frac{4}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ --- 1. Problema: Risolvere $$498\ (x\sqrt{5} + 1)(x\sqrt{5} - 1) = (x\sqrt{5} - 1)x\sqrt{5}$$. 2. Sviluppare lato sinistro con prodotto notevole: $$(x\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5x^2 - 1$$ 3. Sviluppare lato destro: $$x\sqrt{5} \cdot x\sqrt{5} - 1 \cdot x\sqrt{5} = 5x^2 - x\sqrt{5}$$ 4. Equazione: $$5x^2 - 1 = 5x^2 - x\sqrt{5}$$ 5. Portare tutto a sinistra: $$5x^2 - 1 - 5x^2 + x\sqrt{5} = 0$$ 6. Semplificare: $$x\sqrt{5} - 1 = 0$$ 7. Risolvere: $$x\sqrt{5} = 1$$ $$x = \frac{1}{\sqrt{5}}$$ 8. Razionalizzare: $$x = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$