1. Problema: Risolvi le equazioni di secondo grado dal 3 all'11. 2. Formula generale: Per un'equazione $ax^2 + bx + c = 0$, le soluzioni si trovano con la formula quadratica: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Dove il discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ determina il tipo di soluzioni: - Se $\Delta > 0$, due soluzioni reali distinte. - Se $\Delta = 0$, una soluzione reale doppia. - Se $\Delta < 0$, nessuna soluzione reale. 3. Esercizio 3: $8x^2 - 11x = 0$ - Fattorizziamo: $x(8x - 11) = 0$ - Soluzioni: $x=0$ oppure $8x - 11=0 \Rightarrow x=\frac{11}{8}$ 4. Esercizio 4: $7x^2 - 35x = 0$ - Fattorizziamo: $7x(x - 5) = 0$ - Soluzioni: $x=0$ oppure $x=5$ 5. Esercizio 5: $x^2 + x = 0$ - Fattorizziamo: $x(x + 1) = 0$ - Soluzioni: $x=0$ oppure $x=-1$ 6. Esercizio 6: $x^2 - 121 = 0$ - Riscriviamo: $x^2 = 121$ - Poiché $121 = 11^2$, otteniamo $x = \pm 11$ 7. Esercizio 7: $8x^2 - 36 = 0$ - Riscriviamo: $8x^2 = 36$ - Dividiamo entrambi i membri per 8: $$8x^2 = 36 \Rightarrow \cancel{8}x^2 = \frac{36}{\cancel{8}} \Rightarrow x^2 = \frac{9}{2}$$ - Soluzioni: $x = \pm \sqrt{\frac{9}{2}} = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$ 8. Esercizio 8: $4x^2 + 21 = 0$ - Riscriviamo: $4x^2 = -21$ - Poiché il lato destro è negativo, non ci sono soluzioni reali. 9. Esercizio 9: $7x^2 - 35 = 0$ - Riscriviamo: $7x^2 = 35$ - Dividiamo entrambi i membri per 7: $$\cancel{7}x^2 = \frac{35}{\cancel{7}} \Rightarrow x^2 = 5$$ - Soluzioni: $x = \pm \sqrt{5}$ 10. Esercizio 10: $4x^2 - x - 5 = 0$ - Coefficienti: $a=4$, $b=-1$, $c=-5$ - Calcoliamo il discriminante: $$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81$$ - Poiché $\Delta > 0$, due soluzioni reali distinte. - Soluzioni: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{1 \pm 9}{8}$$ - Quindi: $$x_1 = \frac{1 + 9}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$$ $$x_2 = \frac{1 - 9}{8} = \frac{-8}{8} = -1$$ 11. Esercizio 11: $7x^2 - 16x + 4 = 0$ - Coefficienti: $a=7$, $b=-16$, $c=4$ - Calcoliamo il discriminante: $$\Delta = (-16)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 4 = 256 - 112 = 144$$ - Poiché $\Delta > 0$, due soluzioni reali distinte. - Soluzioni: $$x = \frac{-(-16) \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 7} = \frac{16 \pm 12}{14}$$ - Quindi: $$x_1 = \frac{16 + 12}{14} = \frac{28}{14} = 2$$ $$x_2 = \frac{16 - 12}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$$