1. **Problemstellung:** Berechnen Sie die Menge $x$, für die der Erlös $E(x)$ die Kosten $K(x)$ übersteigt. Gegeben: $$K(x) = 1{,}2x + 2$$ $$E(x) = -0{,}5x^2 + 4x$$ Gesucht: $x$ mit $E(x) > K(x)$ 2. **Formel und Regeln:** Wir setzen $E(x) > K(x)$ und lösen die Ungleichung: $$-0{,}5x^2 + 4x > 1{,}2x + 2$$ 3. **Umformen:** Subtrahiere $K(x)$ von beiden Seiten: $$-0{,}5x^2 + 4x - 1{,}2x - 2 > 0$$ $$-0{,}5x^2 + 2{,}8x - 2 > 0$$ 4. **Multipliziere mit $-2$ (um die Dezimalstellen zu entfernen und Ungleichung umzukehren):** $$\cancel{-2} \cdot \left(-0{,}5x^2 + 2{,}8x - 2\right) < \cancel{-2} \cdot 0$$ $$x^2 - 5{,}6x + 4 < 0$$ 5. **Löse die quadratische Ungleichung:** Bestimme die Nullstellen der Gleichung: $$x^2 - 5{,}6x + 4 = 0$$ Mit der Mitternachtsformel: $$x = \frac{5{,}6 \pm \sqrt{5{,}6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2} = \frac{5{,}6 \pm \sqrt{31{,}36 - 16}}{2} = \frac{5{,}6 \pm \sqrt{15{,}36}}{2}$$ $$x = \frac{5{,}6 \pm 3{,}92}{2}$$ 6. **Nullstellen:** $$x_1 = \frac{5{,}6 - 3{,}92}{2} = \frac{1{,}68}{2} = 0{,}84$$ $$x_2 = \frac{5{,}6 + 3{,}92}{2} = \frac{9{,}52}{2} = 4{,}76$$ 7. **Interpretation der Ungleichung:** Da die Parabel nach oben geöffnet ist (positiver Koeffizient bei $x^2$), ist die Ungleichung $x^2 - 5{,}6x + 4 < 0$ zwischen den Nullstellen erfüllt. **Antwort:** $$0{,}84 < x < 4{,}76$$ Der Erlös übersteigt die Kosten für Mengen $x$ zwischen ca. 0,84 und 4,76.