Esercizi 243 248 25Fe39

1. Problema 243: \(\frac{2}{9} - \frac{4}{45}\) \(\cdot\) \(\frac{1}{2} + 1\) : \(\frac{5}{12} - \frac{1}{6} + \frac{1}{20} \cdot \frac{5}{3}\) = \(\left(\frac{7}{100} + \frac{1}{20}\right) \cdot 5 : 2\) : \(x\) Passaggio 1: Calcoliamo dentro le parentesi tonde a sinistra: $$\frac{2}{9} - \frac{4}{45} = \frac{10}{45} - \frac{4}{45} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$$ Passaggio 2: Calcoliamo \(\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2}\) Passaggio 3: Moltiplichiamo i risultati: $$\frac{2}{15} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$$ Passaggio 4: Calcoliamo il denominatore: $$\frac{5}{12} - \frac{1}{6} + \frac{1}{20} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{12} - \frac{2}{12} + \frac{5}{60} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$ Passaggio 5: Quindi il lato sinistro diventa: $$\frac{1}{5} : \frac{1}{3} = \frac{1}{5} \cdot 3 = \frac{3}{5}$$ Passaggio 6: Calcoliamo il lato destro: $$\left(\frac{7}{100} + \frac{1}{20}\right) \cdot 5 : 2 = \left(\frac{7}{100} + \frac{5}{100}\right) \cdot 5 : 2 = \frac{12}{100} \cdot 5 : 2 = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$ Passaggio 7: Quindi: $$\frac{3}{5} : x = \frac{3}{5}$$ Passaggio 8: Risolviamo per \(x\): $$\frac{3}{5} : x = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{5}$$ Passaggio 9: Moltiplichiamo entrambi i lati per \(x\): $$\frac{3}{5} = \frac{3}{5} \cdot x$$ Passaggio 10: Dividiamo entrambi i lati per \(\frac{3}{5}\): $$x = \cancel{\frac{3}{5}} \cdot \frac{1}{\cancel{\frac{3}{5}}} = 1$$ Risposta: \(x = 1\) --- 2. Problema 244: \(\left(\frac{2}{3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{12}\right) : x = \left(\frac{3}{2} \cdot 2 \cdot \frac{5}{3} : 2\right) : \left(1 : \frac{2}{3} + \frac{1}{18} \cdot \frac{1}{3}\right)\) Passaggio 1: Calcoliamo la somma dentro la prima parentesi tonda a sinistra: $$\frac{2}{3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{8}{12} - \frac{2}{12} + \frac{4}{12} - \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$$ Passaggio 2: Calcoliamo il numeratore a destra: $$\frac{3}{2} \cdot 2 \cdot \frac{5}{3} : 2 = \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$$ Passaggio 3: Semplifichiamo: $$\frac{3}{2} \cdot 2 = 3, \quad 3 \cdot \frac{5}{3} = 5, \quad 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$ Passaggio 4: Calcoliamo il denominatore a destra: $$1 : \frac{2}{3} + \frac{1}{18} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{2} + \frac{1}{54} = \frac{81}{54} + \frac{1}{54} = \frac{82}{54} = \frac{41}{27}$$ Passaggio 5: Quindi il lato destro diventa: $$\frac{5}{2} : \frac{41}{27} = \frac{5}{2} \cdot \frac{27}{41} = \frac{135}{82}$$ Passaggio 6: L'equazione è: $$\frac{3}{4} : x = \frac{135}{82}$$ Passaggio 7: Risolviamo per \(x\): $$\frac{3}{4} : x = \frac{135}{82} \Rightarrow \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x} = \frac{135}{82}$$ Passaggio 8: Moltiplichiamo entrambi i lati per \(x\): $$\frac{3}{4} = \frac{135}{82} \cdot x$$ Passaggio 9: Dividiamo entrambi i lati per \(\frac{135}{82}\): $$x = \frac{3}{4} : \frac{135}{82} = \frac{3}{4} \cdot \frac{82}{135} = \frac{246}{540} = \frac{41}{90}$$ Risposta: \(x = \frac{41}{90}\) --- 3. Problema 245: \(\left[\frac{57}{16} \cdot \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right) - \frac{59}{66} : \frac{2}{3}\right] : \frac{15}{2} = x : \left[1 + 2 - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)\right]\) Passaggio 1: Calcoliamo la somma dentro la parentesi tonda: $$\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$$ Passaggio 2: Moltiplichiamo: $$\frac{57}{16} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{57}{16} \cdot \frac{4}{3} = \frac{228}{48} = \frac{19}{4}$$ Passaggio 3: Calcoliamo la divisione: $$\frac{59}{66} : \frac{2}{3} = \frac{59}{66} \cdot \frac{3}{2} = \frac{177}{132} = \frac{59}{44}$$ Passaggio 4: Sottraiamo: $$\frac{19}{4} - \frac{59}{44} = \frac{209}{44} - \frac{59}{44} = \frac{150}{44} = \frac{75}{22}$$ Passaggio 5: Dividiamo per \(\frac{15}{2}\): $$\frac{75}{22} : \frac{15}{2} = \frac{75}{22} \cdot \frac{2}{15} = \frac{150}{330} = \frac{15}{33} = \frac{5}{11}$$ Passaggio 6: Calcoliamo il denominatore a destra: $$1 + 2 - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) = 3 - 1 = 2$$ Passaggio 7: L'equazione diventa: $$\frac{5}{11} = \frac{x}{2}$$ Passaggio 8: Risolviamo per \(x\): $$x = \frac{5}{11} \cdot 2 = \frac{10}{11}$$ Risposta: \(x = \frac{10}{11}\) --- 4. Problema 246: \(\frac{9}{1250} \cdot 2 \cdot \frac{5}{2} : \left[3 \cdot \frac{3}{10} \cdot \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{12}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{3}\right)\right] = x : \left[(28 - 6) \cdot \frac{1}{3} - \left(\frac{43}{40} \cdot \frac{10}{3} - \frac{5}{4}\right)\right]\) Passaggio 1: Calcoliamo la differenza dentro la prima parentesi tonda: $$\frac{3}{4} - \frac{1}{12} = \frac{9}{12} - \frac{1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$ Passaggio 2: Calcoliamo la somma dentro la seconda parentesi tonda: $$\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ Passaggio 3: Moltiplichiamo i fattori nel denominatore: $$3 \cdot \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$$ Semplificando: $$3 \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{10}, \quad \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}, \quad \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$ Passaggio 4: Calcoliamo il numeratore a sinistra: $$\frac{9}{1250} \cdot 2 \cdot \frac{5}{2} = \frac{9}{1250} \cdot 5 = \frac{45}{1250} = \frac{9}{250}$$ Passaggio 5: Quindi il lato sinistro diventa: $$\frac{9}{250} : \frac{3}{10} = \frac{9}{250} \cdot \frac{10}{3} = \frac{90}{750} = \frac{3}{25}$$ Passaggio 6: Calcoliamo il lato destro: $$\left(28 - 6\right) \cdot \frac{1}{3} - \left(\frac{43}{40} \cdot \frac{10}{3} - \frac{5}{4}\right) = 22 \cdot \frac{1}{3} - \left(\frac{430}{120} - \frac{5}{4}\right)$$ Passaggio 7: Semplifichiamo: $$\frac{430}{120} = \frac{43}{12}, \quad \frac{5}{4} = \frac{15}{12}$$ Quindi: $$\frac{43}{12} - \frac{15}{12} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$$ Passaggio 8: Quindi: $$\frac{22}{3} - \frac{7}{3} = \frac{15}{3} = 5$$ Passaggio 9: L'equazione è: $$\frac{3}{25} = \frac{x}{5}$$ Passaggio 10: Risolviamo per \(x\): $$x = \frac{3}{25} \cdot 5 = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$$ Risposta: \(x = \frac{3}{5}\) --- 5. Problema 247: \(\frac{9}{250} \cdot \frac{10}{3} \cdot 1 \cdot \frac{5}{3} : \left(\frac{1}{2} : 5 + \frac{1}{15} \cdot \frac{5}{2} : \frac{5}{6}\right) = \left(\frac{10}{3} \cdot \frac{2}{5} : \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{2}\right) : x\) Passaggio 1: Calcoliamo il numeratore a sinistra: $$\frac{9}{250} \cdot \frac{10}{3} \cdot 1 \cdot \frac{5}{3} = \frac{9}{250} \cdot \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{3}$$ Semplificando: $$\frac{9}{250} \cdot \frac{10}{3} = \frac{90}{750} = \frac{3}{25}, \quad \frac{3}{25} \cdot \frac{5}{3} = \frac{15}{75} = \frac{1}{5}$$ Passaggio 2: Calcoliamo il denominatore a sinistra: $$\frac{1}{2} : 5 + \frac{1}{15} \cdot \frac{5}{2} : \frac{5}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{15} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{6}{5}$$ Semplificando: $$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}, \quad \frac{1}{15} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}, \quad \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{5} = \frac{1}{5}$$ Quindi: $$\frac{1}{10} + \frac{1}{5} = \frac{1}{10} + \frac{2}{10} = \frac{3}{10}$$ Passaggio 3: Quindi il lato sinistro diventa: $$\frac{1}{5} : \frac{3}{10} = \frac{1}{5} \cdot \frac{10}{3} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$$ Passaggio 4: Calcoliamo il lato destro: $$\frac{10}{3} \cdot \frac{2}{5} : \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{20}{15} : \frac{15}{6} = \frac{4}{3} : \frac{15}{6}$$ Passaggio 5: Dividiamo: $$\frac{4}{3} : \frac{15}{6} = \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{15} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$$ Passaggio 6: L'equazione è: $$\frac{2}{3} = \frac{8}{15} : x = \frac{8}{15} \cdot \frac{1}{x}$$ Passaggio 7: Moltiplichiamo entrambi i lati per \(x\): $$\frac{2}{3} \cdot x = \frac{8}{15}$$ Passaggio 8: Risolviamo per \(x\): $$x = \frac{8}{15} : \frac{2}{3} = \frac{8}{15} \cdot \frac{3}{2} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}$$ Risposta: \(x = \frac{4}{5}\) --- 6. Problema 248: \(\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}\right) \cdot \frac{1}{2} : \left[\frac{8}{45} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{27}{5} : 3 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\right)\right] = \left[\frac{5}{12} + \frac{4}{3} - \left(\frac{11}{60} + \frac{11}{30}\right)\right] : x\) Passaggio 1: Calcoliamo la somma e differenza nella prima parentesi tonda: $$\frac{1}{4} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{15}{60} - \frac{6}{60} + \frac{10}{60} + \frac{5}{60} = \frac{24}{60} = \frac{2}{5}$$ Passaggio 2: Moltiplichiamo per \(\frac{1}{2}\): $$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5}$$ Passaggio 3: Calcoliamo il denominatore: $$\frac{8}{45} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{27}{5} : 3 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\right)$$ Passaggio 4: Moltiplichiamo i primi quattro fattori: $$\frac{8}{45} \cdot \frac{5}{6} = \frac{40}{270} = \frac{4}{27}, \quad \frac{4}{27} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{135} = \frac{4}{45}, \quad \frac{4}{45} \cdot \frac{27}{5} = \frac{108}{225} = \frac{12}{25}$$ Passaggio 5: Dividiamo per 3: $$\frac{12}{25} : 3 = \frac{12}{25} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{25}$$ Passaggio 6: Calcoliamo la somma nella parentesi tonda: $$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$$ Passaggio 7: Moltiplichiamo: $$\frac{4}{25} \cdot 2 = \frac{8}{25}$$ Passaggio 8: Quindi il lato sinistro diventa: $$\frac{1}{5} : \frac{8}{25} = \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{8} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8}$$ Passaggio 9: Calcoliamo il lato destro: $$\frac{5}{12} + \frac{4}{3} - \left(\frac{11}{60} + \frac{11}{30}\right) = \frac{5}{12} + \frac{16}{12} - \left(\frac{11}{60} + \frac{22}{60}\right) = \frac{21}{12} - \frac{33}{60}$$ Passaggio 10: Portiamo a denominatore comune: $$\frac{21}{12} = \frac{105}{60}$$ Quindi: $$\frac{105}{60} - \frac{33}{60} = \frac{72}{60} = \frac{6}{5}$$ Passaggio 11: L'equazione è: $$\frac{5}{8} = \frac{6}{5} : x = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{x}$$ Passaggio 12: Moltiplichiamo entrambi i lati per \(x\): $$\frac{5}{8} \cdot x = \frac{6}{5}$$ Passaggio 13: Risolviamo per \(x\): $$x = \frac{6}{5} : \frac{5}{8} = \frac{6}{5} \cdot \frac{8}{5} = \frac{48}{25}$$ Risposta: \(x = \frac{48}{25}\)