1. **Problema:** Calcolare il valore di $$\frac{(2/3)^3}{4/5 + 1/10 + (1/2 + 5/3) - (5/6 + 1/10)}$$. 2. **Formula e regole:** Per risolvere espressioni con frazioni, si eseguono le operazioni seguendo l'ordine: parentesi, esponenti, moltiplicazioni e divisioni, addizioni e sottrazioni. 3. **Calcolo del numeratore:** $$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$$ 4. **Calcolo del denominatore:** Calcoliamo ogni termine dentro la somma e sottrazione: - $$4/5 = \frac{4}{5}$$ - $$1/10 = \frac{1}{10}$$ - $$(1/2 + 5/3) = \frac{1}{2} + \frac{5}{3} = \frac{3}{6} + \frac{10}{6} = \frac{13}{6}$$ - $$(5/6 + 1/10) = \frac{5}{6} + \frac{1}{10} = \frac{25}{30} + \frac{3}{30} = \frac{28}{30} = \frac{14}{15}$$ 5. **Sommiamo e sottraiamo nel denominatore:** $$\frac{4}{5} + \frac{1}{10} + \frac{13}{6} - \frac{14}{15}$$ Troviamo il minimo comune denominatore (mcd) tra 5, 10, 6, 15 che è 30. Convertiamo: $$\frac{4}{5} = \frac{24}{30}, \quad \frac{1}{10} = \frac{3}{30}, \quad \frac{13}{6} = \frac{65}{30}, \quad \frac{14}{15} = \frac{28}{30}$$ 6. **Calcoliamo la somma e sottrazione:** $$24/30 + 3/30 + 65/30 - 28/30 = (24 + 3 + 65 - 28)/30 = 64/30 = \frac{32}{15}$$ 7. **Divisione finale:** $$\frac{8}{27} \div \frac{32}{15} = \frac{8}{27} \times \frac{15}{32}$$ 8. **Semplifichiamo:** $$\frac{8}{27} \times \frac{15}{32} = \frac{\cancel{8}^1}{27} \times \frac{15}{\cancel{32}^{16}} = \frac{1}{27} \times \frac{15}{4} = \frac{15}{108}$$ 9. **Semplifichiamo ulteriormente:** $$\frac{15}{108} = \frac{5}{36}$$ --- 10. **Problema:** Calcolare il valore di $$\frac{(3/2)^2 - (7/5 - 4/5 \times 1/2)}{(9 - 13/2)^2 - 5/2} - (1/5)^2$$. 11. **Calcolo del numeratore:** - $$(3/2)^2 = \frac{9}{4}$$ - $$4/5 \times 1/2 = \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$ - $$7/5 - 2/5 = \frac{5}{5} = 1$$ 12. **Numeratore completo:** $$\frac{9}{4} - 1 = \frac{9}{4} - \frac{4}{4} = \frac{5}{4}$$ 13. **Calcolo del denominatore:** - $$9 - 13/2 = \frac{18}{2} - \frac{13}{2} = \frac{5}{2}$$ - $$(5/2)^2 = \frac{25}{4}$$ - $$\frac{25}{4} - \frac{5}{2} = \frac{25}{4} - \frac{10}{4} = \frac{15}{4}$$ 14. **Divisione fra numeratore e denominatore:** $$\frac{5/4}{15/4} = \frac{5}{4} \times \frac{4}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$ 15. **Sottrazione finale:** $$(1/5)^2 = \frac{1}{25}$$ 16. **Risultato finale:** $$\frac{1}{3} - \frac{1}{25} = \frac{25}{75} - \frac{3}{75} = \frac{22}{75}$$ --- 17. **Problema:** Calcolare il valore di $$\frac{12}{5} \times \left[ \frac{(3/16 + 1/4 - 3/8)^2}{(3/8)^2} + (1/6 + 5/8 - 3/4) \times \frac{2^3}{3} \right]$$. 18. **Calcolo della prima parentesi quadra:** - $$3/16 + 1/4 - 3/8$$ Troviamo mcd 16: $$3/16 + 4/16 - 6/16 = (3 + 4 - 6)/16 = 1/16$$ 19. **Quadrato:** $$(1/16)^2 = 1/256$$ 20. **Calcolo del denominatore della frazione:** $$(3/8)^2 = 9/64$$ 21. **Divisione frazionaria:** $$\frac{1/256}{9/64} = \frac{1}{256} \times \frac{64}{9} = \frac{64}{2304} = \frac{1}{36}$$ 22. **Calcolo della seconda parte della parentesi quadra:** - $$1/6 + 5/8 - 3/4$$ Troviamo mcd 24: $$4/24 + 15/24 - 18/24 = (4 + 15 - 18)/24 = 1/24$$ 23. **Calcolo di $$2^3/3$$:** $$2^3 = 8$$ $$8/3$$ 24. **Moltiplicazione:** $$1/24 \times 8/3 = 8/72 = 1/9$$ 25. **Somma dentro parentesi quadra:** $$1/36 + 1/9 = \frac{1}{36} + \frac{4}{36} = \frac{5}{36}$$ 26. **Moltiplicazione finale:** $$\frac{12}{5} \times \frac{5}{36} = \frac{\cancel{12}^2}{\cancel{5}} \times \frac{\cancel{5}}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$$ --- 27. **Problema:** Calcolare il valore di $$\frac{5 - 2 \times (1 + 3/4)^2 - (1 - 1/4)^2}{(1/2)^3} - (5/2)^2$$. 28. **Calcolo delle potenze:** - $$(1 + 3/4) = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$$ - $$(7/4)^2 = \frac{49}{16}$$ - $$(1 - 1/4) = \frac{3}{4}$$ - $$(3/4)^2 = \frac{9}{16}$$ 29. **Calcolo del numeratore:** $$5 - 2 \times \frac{49}{16} - \frac{9}{16} = 5 - \frac{98}{16} - \frac{9}{16} = 5 - \frac{107}{16}$$ Convertiamo 5 in sedicesimi: $$5 = \frac{80}{16}$$ 30. **Sottrazione:** $$\frac{80}{16} - \frac{107}{16} = -\frac{27}{16}$$ 31. **Calcolo del denominatore:** $$(1/2)^3 = \frac{1}{8}$$ 32. **Divisione:** $$\frac{-27/16}{1/8} = -\frac{27}{16} \times 8 = -\frac{27 \times 8}{16} = -\frac{216}{16} = -\frac{27}{2}$$ 33. **Calcolo dell'ultimo termine:** $$(5/2)^2 = \frac{25}{4}$$ 34. **Risultato finale:** $$-\frac{27}{2} - \frac{25}{4} = -\frac{54}{4} - \frac{25}{4} = -\frac{79}{4}$$