1. Problema: Risolvi le equazioni esponenziali da 109 a 113. 2. Formula e regole importanti: Per risolvere equazioni esponenziali della forma $a^{f(x)} = b^{g(x)}$, se $a$ e $b$ possono essere riscritti con la stessa base positiva diversa da 1, allora si uguagliano gli esponenti: $$f(x) = g(x)$$. Se non è possibile, si usano logaritmi o si analizza la possibilità di soluzioni. 3. Esercizio 109: $4 \cdot 3^x = 4$ Dividiamo entrambi i membri per 4: $$\cancel{4} \cdot 3^x = \cancel{4} \Rightarrow 3^x = 1$$ Poiché $3^0 = 1$, allora: $$x = 0$$ 4. Esercizio 110: $7^{x+2} + 7 = 0$ Poiché $7^{x+2} > 0$ per ogni $x$ e $7 > 0$, la somma non può essere zero. Quindi: $$\text{Nessuna soluzione (impossibile)}$$ 5. Esercizio 111: $4^{x+1} + 3^x = 0$ Entrambi i termini sono positivi per ogni $x$, quindi la somma non può essere zero. Quindi: $$\text{Nessuna soluzione (impossibile)}$$ 6. Esercizio 112: $5^x = 18^x$ Riscriviamo $18$ come prodotto di fattori primi: $18 = 2 \cdot 3^2$, ma non è potenza di 5, quindi non si può uguagliare la base. Dividiamo entrambi i membri per $18^x$: $$\frac{5^x}{18^x} = 1 \Rightarrow \left(\frac{5}{18}\right)^x = 1$$ Poiché $\left(\frac{5}{18}\right)^0 = 1$, allora: $$x = 0$$ 7. Esercizio 113: $2 \cdot 1^x = 8$ Poiché $1^x = 1$ per ogni $x$, allora: $$2 \cdot 1 = 8 \Rightarrow 2 = 8$$ Contraddizione, quindi: $$\text{Nessuna soluzione (impossibile)}$$