1. **Stating the problem:** Calcolare il valore dell'espressione $$ (2a^2 b) \left(-\frac{1}{2} ab\right)^3 : \left(-\frac{1}{4} ab^2\right)^2 - 8 (a^2 b)^2 $$. 2. **Formula e regole importanti:** - Per potenze di prodotti: $$ (xy)^n = x^n y^n $$. - Per potenze di potenze: $$ (x^m)^n = x^{mn} $$. - Divisione di potenze con stessa base: $$ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $$. - Ricordare che $$ (-x)^n = (-1)^n x^n $$. 3. **Calcolo passo passo:** Calcoliamo ogni parte: $$ \left(-\frac{1}{2} ab\right)^3 = (-1)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 a^3 b^3 = -\frac{1}{8} a^3 b^3 $$ Quindi: $$ (2a^2 b) \cdot \left(-\frac{1}{2} ab\right)^3 = 2a^2 b \cdot \left(-\frac{1}{8} a^3 b^3\right) = 2a^2 b \cdot -\frac{1}{8} a^3 b^3 = -\frac{2}{8} a^{2+3} b^{1+3} = -\frac{1}{4} a^5 b^4 $$ Calcoliamo il denominatore: $$ \left(-\frac{1}{4} ab^2\right)^2 = (-1)^2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 a^2 b^{4} = \frac{1}{16} a^2 b^4 $$ Quindi la divisione è: $$ \frac{-\frac{1}{4} a^5 b^4}{\frac{1}{16} a^2 b^4} = -\frac{1}{4} a^5 b^4 \cdot \frac{16}{1} \cdot \frac{1}{a^2 b^4} = -\frac{1}{4} \cdot 16 \cdot a^{5-2} b^{4-4} = -4 a^3 $$ Passo intermedio con cancellazione: $$ \frac{-\frac{1}{4} \cancel{a^5} \cancel{b^4}}{\frac{1}{16} \cancel{a^2} \cancel{b^4}} = -\frac{1}{4} \cdot 16 \cdot a^{3} = -4 a^3 $$ Calcoliamo l'ultimo termine: $$ 8 (a^2 b)^2 = 8 a^{4} b^{2} $$ 4. **Espressione finale:** $$ -4 a^3 - 8 a^{4} b^{2} $$ 5. **Risposta:** L'espressione semplificata è $$ \boxed{-4 a^3 - 8 a^{4} b^{2}} $$.