1. Problema 84: Calcolare $$\sqrt[3]{9x^{3}} \cdot \sqrt[3]{16x^{6}} + \sqrt{16x^{3}}$$. Formula usata: $$\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{ab}$$ e $$\sqrt{a^{2}} = a$$ se $a \geq 0$. Passi: - Calcoliamo il prodotto dei radicali cubici: $$\sqrt[3]{9x^{3}} \cdot \sqrt[3]{16x^{6}} = \sqrt[3]{9x^{3} \cdot 16x^{6}} = \sqrt[3]{144x^{9}}$$. - Semplifichiamo: $$\sqrt[3]{144x^{9}} = \sqrt[3]{144} \cdot \sqrt[3]{x^{9}} = \sqrt[3]{144} \cdot x^{3}$$. - Calcoliamo la radice quadrata: $$\sqrt{16x^{3}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^{3}} = 4 \cdot x^{\frac{3}{2}}$$. - Quindi l'espressione diventa: $$x^{3} \sqrt[3]{144} + 4x^{\frac{3}{2}}$$. 2. Problema 86: Calcolare $$\sqrt{9a} - \sqrt{a^{3}} - \sqrt{16a} + 6a\sqrt{a}$$. Passi: - $$\sqrt{9a} = 3\sqrt{a}$$. - $$\sqrt{a^{3}} = \sqrt{a^{2} \cdot a} = a\sqrt{a}$$. - $$\sqrt{16a} = 4\sqrt{a}$$. - $$6a\sqrt{a}$$ resta invariato. - Sostituiamo: $$3\sqrt{a} - a\sqrt{a} - 4\sqrt{a} + 6a\sqrt{a}$$. - Raggruppiamo: $$(3\sqrt{a} - 4\sqrt{a}) + (-a\sqrt{a} + 6a\sqrt{a}) = -\sqrt{a} + 5a\sqrt{a} = \sqrt{a}(-1 + 5a)$$. 3. Problema 88: Calcolare $$\sqrt{a^{3} + 2a^{2} + a} - \sqrt{a^{3} + 6a^{2} + 9a} + (\sqrt{a} + 1)^{2}$$. Passi: - Fattorizziamo sotto le radici: - $$a^{3} + 2a^{2} + a = a(a^{2} + 2a + 1) = a(a+1)^{2}$$. - $$a^{3} + 6a^{2} + 9a = a(a^{2} + 6a + 9) = a(a+3)^{2}$$. - Quindi: - $$\sqrt{a(a+1)^{2}} = (a+1)\sqrt{a}$$. - $$\sqrt{a(a+3)^{2}} = (a+3)\sqrt{a}$$. - Espandiamo $$(\sqrt{a} + 1)^{2} = a + 2\sqrt{a} + 1$$. - L'espressione diventa: $$ (a+1)\sqrt{a} - (a+3)\sqrt{a} + a + 2\sqrt{a} + 1 $$ - Semplifichiamo: $$ ((a+1) - (a+3))\sqrt{a} + a + 2\sqrt{a} + 1 = (-2)\sqrt{a} + a + 2\sqrt{a} + 1 $$ - Raggruppiamo i termini con $\sqrt{a}$: $$ (-2\sqrt{a} + 2\sqrt{a}) + a + 1 = a + 1 $$ 4. Problema 90: Calcolare $$\frac{(\sqrt{x-1} - \frac{1}{\sqrt{x-1}})(\sqrt{x-2} + \frac{1}{\sqrt{x-2}})}{\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}}$$. Passi: - Calcoliamo il numeratore: $$ (\sqrt{x-1} - \frac{1}{\sqrt{x-1}})(\sqrt{x-2} + \frac{1}{\sqrt{x-2}}) $$ - Espandiamo: $$ \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x-2} + \sqrt{x-1} \cdot \frac{1}{\sqrt{x-2}} - \frac{1}{\sqrt{x-1}} \cdot \sqrt{x-2} - \frac{1}{\sqrt{x-1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x-2}} $$ - Semplifichiamo ogni termine: $$ \sqrt{(x-1)(x-2)} + \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}} - \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-1}} - \frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-2)}} $$ - Il denominatore è: $$ \sqrt{\frac{x-1}{x-2}} = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}} $$ - Quindi l'espressione è: $$ \frac{\sqrt{(x-1)(x-2)} + \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}} - \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-1}} - \frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}}{\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}}} $$ - Moltiplichiamo numeratore e denominatore per $\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-1}}$ per semplificare: $$ \left(\sqrt{(x-1)(x-2)} + \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}} - \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-1}} - \frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}\right) \cdot \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-1}} \div 1 $$ - Dopo semplificazioni, l'espressione si riduce a: $$ (x-2) + 1 - 1 - \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-1}} = x - 2 $$ 5. Problema 92: Calcolare $$\left(1 - \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}\right) \cdot \frac{x + y + 2\sqrt{xy}}{x - y} + (1 - \frac{1}{x}) : \left(\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}\right)$$. Passi: - Notiamo che $$x + y + 2\sqrt{xy} = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^{2}$$. - Quindi il primo termine diventa: $$ \left(1 - \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}\right) \cdot \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^{2}}{x - y} $$ - Semplifichiamo il primo fattore: $$ 1 - \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} - 2\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} $$ - Quindi il primo termine è: $$ \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \cdot \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^{2}}{x - y} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x - y} (\sqrt{x} + \sqrt{y}) $$ - Poiché $$ (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = x - y $$, il primo termine diventa: $$ \frac{x - y}{x - y} (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = \sqrt{x} + \sqrt{y} $$ - Il secondo termine è: $$ (1 - \frac{1}{x}) : \left(\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}\right) = \frac{x - 1}{x} : \frac{x + \sqrt{x}}{x\sqrt{x}} = \frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} = \frac{(x - 1)\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} $$ - Moltiplichiamo numeratore e denominatore per $\sqrt{x}$: $$ \frac{(x - 1)\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{(x - 1)x}{x\sqrt{x} + x} = \frac{x(x - 1)}{x(\sqrt{x} + 1)} = \frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1} $$ - Quindi l'espressione totale è: $$ \sqrt{x} + \sqrt{y} + \frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1} $$ 6. Problema 94: Risolvere l'equazione $$\frac{x - 1}{1 + \sqrt{5}} + \frac{x + 1}{1 - \sqrt{5}} = -2$$. Passi: - Troviamo il minimo comune denominatore (MCD): $$(1 + \sqrt{5})(1 - \sqrt{5}) = 1 - 5 = -4$$. - Riscriviamo l'equazione: $$ \frac{(x - 1)(1 - \sqrt{5}) + (x + 1)(1 + \sqrt{5})}{-4} = -2 $$ - Moltiplichiamo entrambi i membri per $-4$: $$ (x - 1)(1 - \sqrt{5}) + (x + 1)(1 + \sqrt{5}) = 8 $$ - Espandiamo: $$ (x - 1)(1 - \sqrt{5}) = x - x\sqrt{5} - 1 + \sqrt{5} $$ $$ (x + 1)(1 + \sqrt{5}) = x + x\sqrt{5} + 1 + \sqrt{5} $$ - Sommiamo: $$ (x - x\sqrt{5} - 1 + \sqrt{5}) + (x + x\sqrt{5} + 1 + \sqrt{5}) = 8 $$ - Semplifichiamo: $$ x - x\sqrt{5} + x + x\sqrt{5} - 1 + 1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} = 8 $$ - I termini con $x\sqrt{5}$ si cancellano: $$ 2x + 2\sqrt{5} = 8 $$ - Isoliamo $x$: $$ 2x = 8 - 2\sqrt{5} $$ $$ x = 4 - \sqrt{5} $$ Risposta finale: $$x = 4 - \sqrt{5}$$.